Номер 1206, страница 316 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1206, страница 316.

Условие.

1206 Докажите, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды (т. е. сумма площадей её боковых граней) равна половине произведения периметра основания на апофему.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана правильная n-угольная пирамида. Боковая поверхность такой пирамиды состоит из $n$ равных равнобедренных треугольников (боковых граней).

Введем обозначения:
$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности пирамиды;
$P_{осн}$ — периметр основания пирамиды;
$a$ — длина стороны основания;
$n$ — количество сторон основания (и, соответственно, количество боковых граней);
$l$ — апофема пирамиды (высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды).

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей всех ее боковых граней. Так как все $n$ боковых граней равны, то:$S_{бок} = n \cdot S_{грани}$

Площадь одной боковой грани ($S_{грани}$), которая является треугольником с основанием $a$ и высотой $l$, вычисляется по формуле:$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l$

Подставим выражение для площади одной грани в формулу для площади боковой поверхности:$S_{бок} = n \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot l)$

Перегруппируем множители для наглядности:$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (n \cdot a) \cdot l$

Периметр основания $P_{осн}$ для правильного n-угольника со стороной $a$ равен произведению числа сторон на длину стороны:$P_{осн} = n \cdot a$

Заменим произведение $(n \cdot a)$ в формуле для площади боковой поверхности на $P_{осн}$:$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot l$

Таким образом, доказано, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что искомая формула верна: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$.