Номер 1212, страница 318 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1212, страница 318.

Условие.

1212 Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если сторона её основания равна $m$, а плоский угол (т. е. угол грани) при вершине равен $\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. По условию, сторона основания равна $m$, следовательно, площадь основания равна $S_{осн} = m^2$.

Для нахождения объема осталось найти высоту пирамиды $H$. Пусть $SABCD$ — данная пирамида с вершиной $S$ и квадратом $ABCD$ в основании. $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата.

Рассмотрим боковую грань пирамиды — равнобедренный треугольник $ASB$, в котором основание $AB = m$, а угол при вершине $\angle ASB = \alpha$. Боковые ребра $SA$ и $SB$ равны.

Проведем в треугольнике $ASB$ высоту $SK$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Значит, $AK = \frac{AB}{2} = \frac{m}{2}$ и $\angle ASK = \frac{\angle ASB}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $ASK$ найдем длину бокового ребра $SA$ (гипотенузы):
$\sin(\angle ASK) = \frac{AK}{SA} \implies SA = \frac{AK}{\sin(\angle ASK)} = \frac{m/2}{\sin(\alpha/2)} = \frac{m}{2 \sin(\alpha/2)}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. В нем катет $SO$ — это искомая высота пирамиды $H$, гипотенуза $SA$ — боковое ребро, а катет $OA$ — половина диагонали квадрата $ABCD$.

Диагональ квадрата со стороной $m$ равна $AC = m\sqrt{2}$. Тогда ее половина $OA = \frac{m\sqrt{2}}{2}$.

По теореме Пифагора для треугольника $SOA$: $SA^2 = SO^2 + OA^2$.
Отсюда выразим высоту $H = SO$:
$H^2 = SA^2 - OA^2 = \left(\frac{m}{2 \sin(\alpha/2)}\right)^2 - \left(\frac{m\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{m^2}{4 \sin^2(\alpha/2)} - \frac{2m^2}{4}$.

Приведем к общему знаменателю и вынесем общий множитель:
$H^2 = \frac{m^2}{4} \left(\frac{1}{\sin^2(\alpha/2)} - 2\right) = \frac{m^2}{4} \left(\frac{1 - 2\sin^2(\alpha/2)}{\sin^2(\alpha/2)}\right)$.

Используя тригонометрическую формулу косинуса двойного угла $\cos \alpha = 1 - 2\sin^2(\alpha/2)$, получаем:
$H^2 = \frac{m^2 \cos \alpha}{4 \sin^2(\alpha/2)}$.

Извлекая квадратный корень, находим высоту:
$H = \frac{m \sqrt{\cos \alpha}}{2 \sin(\alpha/2)}$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем найти объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot m^2 \cdot \frac{m \sqrt{\cos \alpha}}{2 \sin(\alpha/2)} = \frac{m^3 \sqrt{\cos \alpha}}{6 \sin(\alpha/2)}$.

Ответ: $V = \frac{m^3 \sqrt{\cos \alpha}}{6 \sin(\alpha/2)}$.