Номер 1215, страница 323 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1215, страница 323.

Условие.

1215 В цилиндр вписана правильная $n$-угольная призма (т. е. основания призмы вписаны в основания цилиндра). Найдите отношение объёмов призмы и цилиндра, если:

а) $n = 3$;

б) $n = 4$;

в) $n = 6$;

г) $n = 8$;

д) $n$ — произвольное натуральное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $V_п$ — объём призмы, а $V_ц$ — объём цилиндра. Поскольку призма вписана в цилиндр, их высоты равны. Обозначим высоту как $H$. Основание призмы, правильный $n$-угольник, вписано в основание цилиндра, круг радиуса $R$.

Объём цилиндра вычисляется по формуле: $V_ц = S_{осн.ц} \cdot H = \pi R^2 H$.

Объём призмы вычисляется по формуле: $V_п = S_{осн.п} \cdot H$.

Следовательно, искомое отношение объёмов равно отношению площадей их оснований:$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{S_{осн.п} \cdot H}{\pi R^2 H} = \frac{S_{осн.п}}{\pi R^2}$.

Площадь правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, вычисляется по формуле: $S_{осн.п} = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\frac{2\pi}{n})$.

Подставив это выражение в формулу для отношения объёмов, получим общую формулу:$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{\frac{1}{2} n R^2 \sin(\frac{2\pi}{n})}{\pi R^2} = \frac{n \sin(\frac{2\pi}{n})}{2\pi}$.

Теперь применим эту формулу для каждого из заданных случаев.

а) Для $n=3$ (правильная треугольная призма):
$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{3 \sin(\frac{2\pi}{3})}{2\pi}$.
Так как $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$.

б) Для $n=4$ (правильная четырехугольная призма):
$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{4 \sin(\frac{2\pi}{4})}{2\pi} = \frac{4 \sin(\frac{\pi}{2})}{2\pi}$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = \sin(90^\circ) = 1$, то$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{4 \cdot 1}{2\pi} = \frac{2}{\pi}$.
Ответ: $\frac{2}{\pi}$.

в) Для $n=6$ (правильная шестиугольная призма):
$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{6 \sin(\frac{2\pi}{6})}{2\pi} = \frac{6 \sin(\frac{\pi}{3})}{2\pi}$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$.

г) Для $n=8$ (правильная восьмиугольная призма):
$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{8 \sin(\frac{2\pi}{8})}{2\pi} = \frac{8 \sin(\frac{\pi}{4})}{2\pi}$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2\pi} = \frac{4\sqrt{2}}{2\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$.

д) Для произвольного натурального числа $n$:
Используем общую формулу, выведенную в начале:
$\frac{V_п}{V_ц} = \frac{n \sin(\frac{2\pi}{n})}{2\pi}$.
Ответ: $\frac{n \sin(\frac{2\pi}{n})}{2\pi}$.