Номер 1221, страница 325 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1221, страница 325.

Условие.

1221 Найдите объём конуса, если площадь его основания равна $Q$, а площадь боковой поверхности равна $P$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Обозначим радиус основания конуса как $R$, его высоту как $H$, а длину образующей как $L$.

Объём конуса $V$ вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

По условию задачи, площадь основания $S_{осн} = Q$. Следовательно, формула для объёма принимает вид:
$V = \frac{1}{3} Q H$

Для нахождения объёма необходимо выразить высоту $H$ через заданные величины $Q$ и $P$.
Площадь основания конуса (круга) и площадь его боковой поверхности выражаются следующими формулами:
$Q = \pi R^2$ (площадь основания)
$P = \pi R L$ (площадь боковой поверхности)

Высота $H$, радиус $R$ и образующая $L$ конуса связаны теоремой Пифагора: $L^2 = H^2 + R^2$, откуда $H^2 = L^2 - R^2$. Наша задача — выразить $L^2$ и $R^2$ через $P$ и $Q$.

Из формулы площади основания $Q = \pi R^2$ находим квадрат радиуса:
$R^2 = \frac{Q}{\pi}$

Чтобы найти $L^2$, сначала найдем соотношение между $L$ и $R$, разделив уравнение для $P$ на уравнение для $Q$:
$\frac{P}{Q} = \frac{\pi R L}{\pi R^2} = \frac{L}{R} \implies L = R \frac{P}{Q}$
Теперь возведём в квадрат:
$L^2 = \left(R \frac{P}{Q}\right)^2 = R^2 \frac{P^2}{Q^2}$

Подставим выражения для $L^2$ и $R^2$ в формулу для квадрата высоты:
$H^2 = L^2 - R^2 = R^2 \frac{P^2}{Q^2} - R^2 = R^2 \left(\frac{P^2}{Q^2} - 1\right) = R^2 \frac{P^2 - Q^2}{Q^2}$
Теперь заменим $R^2$ на его выражение через $Q$:
$H^2 = \frac{Q}{\pi} \cdot \frac{P^2 - Q^2}{Q^2} = \frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}$
Отсюда находим высоту $H$:
$H = \sqrt{\frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}}$
(Заметим, что для существования конуса необходимо, чтобы образующая была больше радиуса, $L > R$, что эквивалентно условию $P > Q$).

Наконец, подставим найденное выражение для $H$ в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3} Q H = \frac{1}{3} Q \sqrt{\frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}}$

Упростим это выражение, внеся множитель $Q$ под знак корня ($Q = \sqrt{Q^2}$):
$V = \frac{1}{3} \sqrt{Q^2 \cdot \frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{Q(P^2 - Q^2)}{\pi}}$

Ответ: $V = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{Q(P^2 - Q^2)}{\pi}}$