Номер 1223, страница 325 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1223, страница 325.

Условие.

1223 Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов образуется конус. По условию, вращение происходит вокруг меньшего катета. Следовательно, высота конуса $h$ равна длине меньшего катета, а радиус основания конуса $r$ равен длине большего катета.

Дано:
Меньший катет = 6 см, значит высота конуса $h = 6$ см.
Больший катет = 8 см, значит радиус основания конуса $r = 8$ см.

Образующая конуса $l$ является гипотенузой исходного прямоугольного треугольника. Найдем ее по теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$.

$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.
Подставим наши значения:
$S_{бок} = \pi \cdot 8 \cdot 10 = 80\pi$ $см^2$.
Ответ: $80\pi$ $см^2$.

Площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности и площади основания ($S_{осн}$): $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$.
Площадь основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$.
$S_{осн} = \pi \cdot 8^2 = 64\pi$ $см^2$.
Теперь найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 80\pi + 64\pi = 144\pi$ $см^2$.
Ответ: $144\pi$ $см^2$.