Номер 1225, страница 326 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1225, страница 326.

Условие.

1225 Сферу радиуса R покрасили слоем краски толщины d. Слоем такой же толщины покрасили многоугольник и затратили при этом такое же количество краски. Найдите площадь многоугольника.

Решение

Если толщина слоя краски равна d, то объём краски, затраченной на покраску сферы, равен разности объёмов двух шаров: шара радиуса R + d и шара радиуса R, т. е. равен

$\frac{4}{3}\pi(R+d)^3 - \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi d (3R^2 + 3Rd + d^2)$

При покраске многоугольника площади S слоем толщины d объём затраченной краски равен Sd, поскольку объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Приравнивая эти два объёма и сокращая на d, находим S:

$S = \frac{4}{3}\pi (3R^2 + 3Rd + d^2)$

Замечание

Если толщина d слоя краски очень мала по сравнению с радиусом R сферы, то величина S приблизительно равна

$\frac{4}{3}\pi \cdot 3R^2 = 4\pi R^2$

Основываясь на проведённых рассуждениях, естественно принять за площадь сферы величину $4\pi R^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Для нахождения площади многоугольника необходимо приравнять объемы краски, затраченной на покраску сферы и многоугольника.

1. Найдем объем краски, затраченной на покраску сферы.
Слой краски образует сферическую оболочку. Её объем ($V_{сферы}$) равен разности объемов двух шаров: внешнего шара радиусом $R + d$ и внутреннего шара радиусом $R$. Формула объема шара: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

$V_{сферы} = V_{R+d} - V_R = \frac{4}{3}\pi (R+d)^3 - \frac{4}{3}\pi R^3$

Раскроем куб суммы $(R+d)^3 = R^3 + 3R^2d + 3Rd^2 + d^3$ и подставим в формулу:

$V_{сферы} = \frac{4}{3}\pi (R^3 + 3R^2d + 3Rd^2 + d^3 - R^3) = \frac{4}{3}\pi (3R^2d + 3Rd^2 + d^3)$

Вынесем общий множитель $d$ за скобки:

$V_{сферы} = \frac{4}{3}\pi d (3R^2 + 3Rd + d^2)$

2. Найдем объем краски, затраченной на покраску многоугольника.
Пусть площадь многоугольника равна $S$. Слой краски толщиной $d$ на этой площади образует прямую призму, объем которой ($V_{многоуг.}$) равен произведению площади основания на высоту.

$V_{многоуг.} = S \cdot d$

3. Приравняем объемы и найдем площадь $S$.
По условию задачи, объемы затраченной краски равны:

$V_{сферы} = V_{многоуг.}$

$\frac{4}{3}\pi d (3R^2 + 3Rd + d^2) = S \cdot d$

Поскольку толщина слоя краски $d > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $d$:

$S = \frac{4}{3}\pi (3R^2 + 3Rd + d^2)$

Ответ: $S = \frac{4}{3}\pi(3R^2 + 3Rd + d^2)$.

Замечание

Если толщина слоя краски $d$ очень мала по сравнению с радиусом сферы $R$ (т.е. $d \ll R$), то членами, содержащими $Rd$ и $d^2$, можно пренебречь. В таком случае площадь многоугольника $S$ будет приблизительно равна площади поверхности сферы:

$S = 4\pi R^2 + 4\pi Rd + \frac{4}{3}\pi d^2 \approx 4\pi R^2$

Это соответствует интуитивному представлению, что при очень тонком слое краски объем затраченного материала прямо пропорционален площади окрашиваемой поверхности.