Номер 1225, страница 326 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1225, страница 326.

Условие.

1225 Сферу радиуса R покрасили слоем краски толщины d. Слоем такой же толщины покрасили многоугольник и затратили при этом такое же количество краски. Найдите площадь многоугольника.

Решение

Если толщина слоя краски равна d, то объём краски, затраченной на покраску сферы, равен разности объёмов двух шаров: шара радиуса R + d и шара радиуса R, т. е. равен

$\frac{4}{3}\pi(R+d)^3 - \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi d (3R^2 + 3Rd + d^2)$

При покраске многоугольника площади S слоем толщины d объём затраченной краски равен Sd, поскольку объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Приравнивая эти два объёма и сокращая на d, находим S:

$S = \frac{4}{3}\pi (3R^2 + 3Rd + d^2)$

Замечание

Если толщина d слоя краски очень мала по сравнению с радиусом R сферы, то величина S приблизительно равна

$\frac{4}{3}\pi \cdot 3R^2 = 4\pi R^2$

Основываясь на проведённых рассуждениях, естественно принять за площадь сферы величину $4\pi R^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.