Номер 1222, страница 325 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1222, страница 325.

Условие.

1222 Площадь полной поверхности конуса равна $45\pi \text{ дм}^2$. Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор с дугой в $60^\circ$. Найдите объём конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $r$ — радиус основания конуса, $l$ — его образующая, а $h$ — высота.

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l$.

Согласно условию, $S_{полн} = 45\pi$ дм². Таким образом, мы имеем уравнение: $\pi r^2 + \pi r l = 45\pi$. Разделив обе части уравнения на $\pi$, получим: $r^2 + rl = 45$ (1).

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса, то есть $C = 2\pi r$.

Длина дуги сектора с центральным углом $\alpha = 60^\circ$ и радиусом $l$ находится по формуле: $C = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi l$.

Приравнивая два выражения для длины окружности основания, получаем: $2\pi r = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi l$. $2\pi r = \frac{1}{6} \cdot 2\pi l$. Отсюда находим соотношение между радиусом основания и образующей: $r = \frac{1}{6} l$, что эквивалентно $l = 6r$ (2).

Подставим соотношение (2) в уравнение (1): $r^2 + r(6r) = 45$. $r^2 + 6r^2 = 45$. $7r^2 = 45$. $r^2 = \frac{45}{7}$.

Высота конуса $h$, радиус $r$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой. По теореме Пифагора: $h^2 + r^2 = l^2$. Отсюда $h^2 = l^2 - r^2$. Используя соотношение $l = 6r$, получаем: $h^2 = (6r)^2 - r^2 = 36r^2 - r^2 = 35r^2$.

Теперь подставим найденное значение $r^2 = \frac{45}{7}$ в выражение для $h^2$: $h^2 = 35 \cdot \frac{45}{7} = \frac{35}{7} \cdot 45 = 5 \cdot 45 = 225$. Следовательно, высота конуса $h = \sqrt{225} = 15$ дм.

Объём конуса $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Подставим значения $r^2 = \frac{45}{7}$ и $h = 15$: $V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{45}{7}\right) \cdot 15 = \pi \cdot \frac{45 \cdot 15}{3 \cdot 7} = \pi \cdot \frac{15 \cdot 15}{7} = \frac{225\pi}{7}$ дм³.

Ответ: $ \frac{225\pi}{7} $ дм³.