Номер 1228, страница 326 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1228, страница 326.

Условие.

1228 Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Для того чтобы определить, переполнит ли мороженое стаканчик, необходимо сравнить объем конического стаканчика и суммарный объем двух шариков мороженого. Если объем мороженого будет меньше или равен объему стаканчика, то оно не переполнит его, когда растает.

1. Вычислим объем конического стаканчика.

Объем конуса вычисляется по формуле $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ — это радиус основания конуса, а $H$ — его высота (глубина).

По условию задачи, глубина стаканчика $H = 12$ см, а диаметр его верхней части $D = 5$ см. Радиус основания конуса равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ см.

Теперь подставим известные значения в формулу объема конуса:

$V_{стаканчика} = \frac{1}{3}\pi \cdot (2.5)^2 \cdot 12 = \frac{1}{3}\pi \cdot 6.25 \cdot 12 = 4 \cdot 6.25 \cdot \pi = 25\pi$ см³.

2. Вычислим объем мороженого.

Мороженое состоит из двух ложек в виде полушарий. Объем двух полушарий равен объему одного целого шара с таким же радиусом. Диаметр каждого полушария равен 5 см.

Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ — это радиус шара.

Радиус шара равен половине его диаметра:

$r = \frac{5}{2} = 2.5$ см.

Теперь вычислим общий объем мороженого:

$V_{мороженого} = \frac{4}{3}\pi \cdot (2.5)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 15.625 = \frac{62.5}{3}\pi$ см³.

3. Сравним объемы.

Теперь сравним объем стаканчика и объем мороженого:

$V_{стаканчика} = 25\pi$ см³

$V_{мороженого} = \frac{62.5}{3}\pi \approx 20.83\pi$ см³

Чтобы сравнить $25\pi$ и $\frac{62.5}{3}\pi$, достаточно сравнить числа $25$ и $\frac{62.5}{3}$.

$25 = \frac{75}{3}$.

Так как $75 > 62.5$, то $\frac{75}{3} > \frac{62.5}{3}$, а значит $25\pi > \frac{62.5}{3}\pi$.

Следовательно, $V_{стаканчика} > V_{мороженого}$.

Поскольку объем стаканчика больше объема мороженого, растаявшее мороженое полностью поместится в стаканчике и не переполнит его.

Ответ: нет, мороженое не переполнит стаканчик.