Номер 1230, страница 326 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1230, страница 326.

Условие.

1230 Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства нам необходимо сравнить формулы площади поверхности сферы и площади полной поверхности конуса с учётом заданных условий.

1. Площадь поверхности сферы.
Пусть радиус сферы равен $R$. Тогда её диаметр равен $2R$. Площадь поверхности сферы ($S_{сферы}$) вычисляется по формуле: $S_{сферы} = 4\pi R^2$.

2. Площадь полной поверхности конуса.
Пусть радиус основания конуса равен $r$, высота – $h$, а образующая – $l$. Площадь полной поверхности конуса ($S_{конуса}$) равна сумме площади его основания ($S_{осн} = \pi r^2$) и площади боковой поверхности ($S_{бок} = \pi r l$): $S_{конуса} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r+l)$.

3. Использование условий задачи.
По условию задачи, у нас есть два соотношения:

• Высота конуса равна диаметру сферы: $h = 2R$.
• Диаметр основания конуса равен его образующей: $2r = l$.

4. Связь между параметрами конуса и сферы.
Высота, радиус и образующая прямого конуса связаны теоремой Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$. Подставим в это уравнение условия из задачи ($h=2R$ и $l=2r$): $(2r)^2 = (2R)^2 + r^2$ $4r^2 = 4R^2 + r^2$ Вычтем $r^2$ из обеих частей уравнения: $3r^2 = 4R^2$.

5. Вычисление площади поверхности конуса.
Теперь преобразуем формулу площади полной поверхности конуса, используя условие $l = 2r$: $S_{конуса} = \pi r(r+l) = \pi r(r+2r) = \pi r(3r) = 3\pi r^2$. Теперь в это выражение подставим найденное нами соотношение $3r^2 = 4R^2$: $S_{конуса} = \pi (3r^2) = \pi (4R^2) = 4\pi R^2$.

6. Заключение.
Мы получили, что площадь полной поверхности конуса $S_{конуса} = 4\pi R^2$. Сравнивая это с площадью поверхности сферы $S_{сферы} = 4\pi R^2$, мы видим, что они равны. $S_{сферы} = S_{конуса}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь сферы ($4\pi R^2$) равна площади полной поверхности конуса ($4\pi R^2$).