Номер 5, страница 327 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Вопросы к главе 14 - номер 5, страница 327.

Условие.

5 Докажите, что четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажем утверждение, используя векторный метод. Выберем вершину $A$ в качестве начала координат и введем три некомпланарных вектора, совпадающих с ребрами параллелепипеда, выходящими из этой вершины: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Четыре диагонали параллелепипеда — это отрезки $AC_1$, $BD_1$, $CA_1$ и $DB_1$.

Выразим радиус-векторы вершин, являющихся концами этих диагоналей, через базисные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$:

• $\vec{r}_A = \vec{0}$
• $\vec{r}_B = \vec{a}$
• $\vec{r}_C = \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$
• $\vec{r}_D = \vec{b}$
• $\vec{r}_{A_1} = \vec{c}$
• $\vec{r}_{B_1} = \vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$
• $\vec{r}_{C_1} = \vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
• $\vec{r}_{D_1} = \vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{c}$

Теперь найдем радиус-векторы середин каждой из четырех диагоналей. Радиус-вектор середины отрезка, концы которого заданы радиус-векторами $\vec{r}_P$ и $\vec{r}_Q$, вычисляется по формуле $\frac{1}{2}(\vec{r}_P + \vec{r}_Q)$.

Для диагонали $AC_1$ радиус-вектор ее середины $O_1$ равен:
$\vec{r}_{O_1} = \frac{1}{2}(\vec{r}_A + \vec{r}_{C_1}) = \frac{1}{2}(\vec{0} + (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

Для диагонали $BD_1$ радиус-вектор ее середины $O_2$ равен:
$\vec{r}_{O_2} = \frac{1}{2}(\vec{r}_B + \vec{r}_{D_1}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

Для диагонали $CA_1$ (соединяющей вершины $C$ и $A_1$) радиус-вектор ее середины $O_3$ равен:
$\vec{r}_{O_3} = \frac{1}{2}(\vec{r}_C + \vec{r}_{A_1}) = \frac{1}{2}((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

Для диагонали $DB_1$ (соединяющей вершины $D$ и $B_1$) радиус-вектор ее середины $O_4$ равен:
$\vec{r}_{O_4} = \frac{1}{2}(\vec{r}_D + \vec{r}_{B_1}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + (\vec{a} + \vec{c})) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

Поскольку радиус-векторы середин всех четырех диагоналей равны ($\vec{r}_{O_1} = \vec{r}_{O_2} = \vec{r}_{O_3} = \vec{r}_{O_4}$), это означает, что все четыре диагонали имеют общую середину. Следовательно, они пересекаются в этой точке и делятся ею пополам.

Ответ: Утверждение доказано. Середины всех четырех диагоналей параллелепипеда совпадают, следовательно, диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.