Номер 7, страница 327 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Вопросы к главе 14 - номер 7, страница 327.

Условие.

7 Сформулируйте основные свойства объёмов.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Объём — это численная характеристика пространства, занимаемого телом. Основные свойства объёмов, как правило, формулируются в виде аксиом.

1. Неотрицательность.

   Объём любого геометрического тела является неотрицательным числом. Для любого тела $T$ его объём $V(T) \ge 0$. Объём равен нулю тогда и только тогда, когда тело не содержит внутренних точек (например, для точки, отрезка или плоской фигуры в трёхмерном пространстве).

2. Инвариантность.

   Конгруэнтные (равные) тела имеют равные объёмы. Если тело $T_1$ конгруэнтно телу $T_2$, то их объёмы равны: $V(T_1) = V(T_2)$. Это свойство означает, что объём не изменяется при перемещении тела в пространстве без деформации.

3. Аддитивность.

   Если тело $T$ составлено из конечного числа тел $T_1, T_2, \dots, T_n$, которые не имеют общих внутренних точек (то есть могут пересекаться только по своим границам), то объём тела $T$ равен сумме объёмов составляющих его тел. Математически это записывается так: $V(T_1 \cup T_2 \cup \dots \cup T_n) = V(T_1) + V(T_2) + \dots + V(T_n) = \sum_{i=1}^{n} V(T_i)$.

4. Нормированность.

   За единицу измерения объёма принимается объём куба, ребро которого равно единице длины. Такой куб называется единичным, и его объём по определению равен единице: $V(\text{единичный куб}) = 1 \text{ ед.}^3$.

Из этих основных свойств вытекает следствие: если тело $T_1$ является частью тела $T_2$, то объём тела $T_1$ не превосходит объёма тела $T_2$, то есть $V(T_1) \le V(T_2)$.

Ответ: Основные свойства объёмов: 1) неотрицательность (объём любого тела $V \ge 0$); 2) инвариантность (равные тела имеют равные объёмы); 3) аддитивность (объём тела, составленного из частей, равен сумме объёмов этих частей); 4) нормированность (объём единичного куба равен 1).