Номер 1231, страница 327 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1231, страница 327.

Условие.

1231 Отношение объёмов двух шаров равно 8. Как относятся площади их поверхностей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Обозначим радиусы двух шаров как $r_1$ и $r_2$, их объёмы как $V_1$ и $V_2$, а площади их поверхностей как $S_1$ и $S_2$.

Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$.

По условию задачи, отношение объёмов двух шаров равно 8:

$\frac{V_1}{V_2} = 8$

Подставим формулы объёмов в это отношение:

$\frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = 8$

После сокращения общих множителей $(\frac{4}{3}\pi)$ получаем отношение кубов радиусов:

$\frac{r_1^3}{r_2^3} = (\frac{r_1}{r_2})^3 = 8$

Чтобы найти отношение радиусов, извлечём кубический корень из обеих частей уравнения:

$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{8} = 2$

Теперь найдём отношение площадей поверхностей этих шаров. Оно равно:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2}$

После сокращения общих множителей $(4\pi)$ получаем отношение квадратов радиусов:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = (\frac{r_1}{r_2})^2$

Подставим найденное ранее отношение радиусов $(\frac{r_1}{r_2} = 2)$ в это выражение:

$\frac{S_1}{S_2} = (2)^2 = 4$

Следовательно, отношение площадей поверхностей двух шаров равно 4.

Ответ: 4.