Номер 1226, страница 326 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1226, страница 326.

Условие.

1226 Пусть $V$ — объём шара радиуса $R$, $S$ — площадь его поверхности. Найдите:

а) $S$ и $V$, если $R=4 \text{ см}$;

б) $R$ и $S$, если $V=113,04 \text{ см}^3$;

в) $R$ и $V$, если $S=64\pi \text{ см}^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи используются формулы объёма шара $V$ и площади его поверхности $S$ через радиус $R$:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

$S = 4\pi R^2$

а) Дано: радиус шара $R = 4$ см. Необходимо найти площадь поверхности $S$ и объём $V$.

Сначала вычислим площадь поверхности, подставив значение радиуса в соответствующую формулу:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot (4 \text{ см})^2 = 4\pi \cdot 16 \text{ см}^2 = 64\pi \text{ см}^2$.

Затем вычислим объём шара:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot (4 \text{ см})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 \text{ см}^3 = \frac{256}{3}\pi \text{ см}^3$.

Это значение можно также записать в виде смешанной дроби: $85\frac{1}{3}\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $S = 64\pi \text{ см}^2$, $V = \frac{256}{3}\pi \text{ см}^3$.

б) Дано: объём шара $V = 113,04 \text{ см}^3$. Необходимо найти радиус $R$ и площадь поверхности $S$.

Так как объём дан в виде десятичной дроби, для расчетов используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

Выразим радиус $R$ из формулы объёма:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3 \implies R^3 = \frac{3V}{4\pi}$

Подставим известные значения:

$R^3 = \frac{3 \cdot 113,04 \text{ см}^3}{4 \cdot 3,14} = \frac{339,12 \text{ см}^3}{12,56} = 27 \text{ см}^3$.

Теперь найдём радиус, извлекая кубический корень:

$R = \sqrt[3]{27 \text{ см}^3} = 3 \text{ см}$.

Зная радиус, вычислим площадь поверхности шара:

$S = 4\pi R^2 = 4 \cdot 3,14 \cdot (3 \text{ см})^2 = 4 \cdot 3,14 \cdot 9 \text{ см}^2 = 113,04 \text{ см}^2$.

Ответ: $R = 3 \text{ см}$, $S = 113,04 \text{ см}^2$.

в) Дано: площадь поверхности шара $S = 64\pi \text{ см}^2$. Необходимо найти радиус $R$ и объём $V$.

Выразим радиус $R$ из формулы площади поверхности:

$S = 4\pi R^2 \implies R^2 = \frac{S}{4\pi}$

Подставим известное значение площади:

$R^2 = \frac{64\pi \text{ см}^2}{4\pi} = 16 \text{ см}^2$.

Теперь найдём радиус, извлекая квадратный корень (значение радиуса должно быть положительным):

$R = \sqrt{16 \text{ см}^2} = 4 \text{ см}$.

Зная радиус, вычислим объём шара:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot (4 \text{ см})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 \text{ см}^3 = \frac{256}{3}\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $R = 4 \text{ см}$, $V = \frac{256}{3}\pi \text{ см}^3$.