Номер 1219, страница 324 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1219, страница 324.

Условие.

1219* Докажите, что объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Решение

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим конус и пирамиду с площадями оснований $S$ и высотами $PH=h$ и $QO=h$ соответственно, «стоящие» на одной плоскости $\alpha$ (рис. 367). Докажем, что объём конуса равен $\frac{1}{3}Sh$.

Проведём секущую плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$ и пересекающую высоты $PH$ и $QO$ в точках $H_1$ и $O_1$ соответственно. В сечении конуса плоскостью $\beta$ получится круг радиуса $H_1A_1$. Треугольники $PH_1A_1$ и $PHA$ подобны по двум углам ($\angle P$ — общий, $\angle PH_1A_1 = \angle PHA = 90^\circ$, так как в противном случае прямые $HA$ и $H_1A_1$, а значит, и плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекались бы, что противоречит условию). Поэтому $\frac{H_1A_1}{HA} = \frac{PH_1}{PH}$,

откуда $H_1A_1 = \frac{PH_1}{PH} \cdot HA$, и площадь сечения конуса равна $\pi H_1A_1^2 = \left(\frac{PH_1}{PH}\right)^2 \cdot \pi HA^2 = \left(\frac{PH_1}{PH}\right)^2 \cdot S$.

Площадь сечения пирамиды равна $\left(\frac{GO_1}{GO}\right)^2 \cdot S$ (см. задачу 1209).

По условию $PH=QO=h$. Интуитивно ясно также, что $PH_1=QO_1$ (аккуратное доказательство этого факта будет дано в курсе стереометрии 10—11 классов).

Следовательно, площадь сечения конуса равна площади сечения пирамиды. Поэтому и его объём равен объёму пирамиды, т. е. равен $\frac{1}{3}Sh$, что и требовалось доказать.

Рис. 367

Решение 2.

Решение 4.

Решение 9.