Номер 1219, страница 324 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1219, страница 324.

Условие.

1219* Докажите, что объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Решение

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим конус и пирамиду с площадями оснований $S$ и высотами $PH=h$ и $QO=h$ соответственно, «стоящие» на одной плоскости $\alpha$ (рис. 367). Докажем, что объём конуса равен $\frac{1}{3}Sh$.

Проведём секущую плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$ и пересекающую высоты $PH$ и $QO$ в точках $H_1$ и $O_1$ соответственно. В сечении конуса плоскостью $\beta$ получится круг радиуса $H_1A_1$. Треугольники $PH_1A_1$ и $PHA$ подобны по двум углам ($\angle P$ — общий, $\angle PH_1A_1 = \angle PHA = 90^\circ$, так как в противном случае прямые $HA$ и $H_1A_1$, а значит, и плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекались бы, что противоречит условию). Поэтому $\frac{H_1A_1}{HA} = \frac{PH_1}{PH}$,

откуда $H_1A_1 = \frac{PH_1}{PH} \cdot HA$, и площадь сечения конуса равна $\pi H_1A_1^2 = \left(\frac{PH_1}{PH}\right)^2 \cdot \pi HA^2 = \left(\frac{PH_1}{PH}\right)^2 \cdot S$.

Площадь сечения пирамиды равна $\left(\frac{GO_1}{GO}\right)^2 \cdot S$ (см. задачу 1209).

По условию $PH=QO=h$. Интуитивно ясно также, что $PH_1=QO_1$ (аккуратное доказательство этого факта будет дано в курсе стереометрии 10—11 классов).

Следовательно, площадь сечения конуса равна площади сечения пирамиды. Поэтому и его объём равен объёму пирамиды, т. е. равен $\frac{1}{3}Sh$, что и требовалось доказать.

Рис. 367

Решение 2.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Для доказательства воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим конус и пирамиду, у которых площади оснований равны $S$ и высоты также равны $h$. Пусть их основания лежат в одной плоскости $\alpha$, а вершины — $P$ и $Q$ соответственно (как показано на рис. 367). Высота конуса — $PH=h$, высота пирамиды — $QO=h$.

Проведём на одинаковом расстоянии от вершин секущую плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$. Эта плоскость пересечёт высоту конуса в точке $H_1$, а высоту пирамиды — в точке $O_1$. Таким образом, $PH_1 = QO_1$.

Найдём площадь сечения конуса $S_{сеч.кон.}$. Сечение представляет собой круг. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle PH_1A_1$ (образованный сечением) и $\triangle PHA$ (в осевом сечении конуса). Они подобны по двум углам, так как имеют общий угол $\angle P$ и прямые углы $\angle PH_1A_1 = \angle PHA = 90^\circ$.

Из подобия треугольников следует отношение радиусов сечения $H_1A_1$ и основания $HA$:

$\frac{H_1A_1}{HA} = \frac{PH_1}{PH}$

Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Площадь основания конуса $S = \pi \cdot (HA)^2$. Площадь сечения $S_{сеч.кон.} = \pi \cdot (H_1A_1)^2$. Тогда:

$\frac{S_{сеч.кон.}}{S} = \frac{\pi \cdot (H_1A_1)^2}{\pi \cdot (HA)^2} = \left(\frac{H_1A_1}{HA}\right)^2 = \left(\frac{PH_1}{PH}\right)^2$

Отсюда $S_{сеч.кон.} = S \cdot \left(\frac{PH_1}{PH}\right)^2$.

Теперь рассмотрим площадь сечения пирамиды $S_{сеч.пир.}$. Для любой пирамиды отношение площади сечения, параллельного основанию, к площади основания равно квадрату отношения их расстояний от вершины:

$S_{сеч.пир.} = S \cdot \left(\frac{QO_1}{QO}\right)^2$

Сравним площади сечений. Так как по построению $PH = QO = h$ и $PH_1 = QO_1$, то:

$\left(\frac{PH_1}{PH}\right)^2 = \left(\frac{QO_1}{QO}\right)^2$

Следовательно, на любой высоте площади сечений конуса и пирамиды равны: $S_{сеч.кон.} = S_{сеч.пир.}$.

Согласно принципу Кавальери, если два тела имеют равные высоты и на любой высоте площади их поперечных сечений равны, то объёмы этих тел равны. Таким образом, объём конуса равен объёму пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V_{пирамиды} = \frac{1}{3}Sh$.

Значит, и объём конуса равен $\frac{1}{3}Sh$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что объём конуса равен одной трети произведения площади его основания на высоту ($V = \frac{1}{3}Sh$).