Номер 1213, страница 323 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1213, страница 323.

Условие.

1213 Докажите, что объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Решение

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим цилиндр и призму с площадями оснований, равными $S$, и высотами, равными $h$, «стоящие» на одной плоскости (рис. 366). Любая секущая плоскость, параллельная этой плоскости, даёт в качестве сечения цилиндра круг площади $S$, а в качестве сечения призмы — многоугольник площади $S$. Значит, объём цилиндра равен объёму призмы. Но объём призмы равен $Sh$. Поэтому и объём цилиндра равен $Sh$.

Рис. 366

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Для доказательства того, что объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту, воспользуемся принципом Кавальери.

Рассмотрим два тела: цилиндр и призму. Пусть площади их оснований равны и составляют величину $S$, а их высоты также равны и составляют величину $h$. Расположим эти тела так, чтобы их основания лежали в одной и той же плоскости, как это показано на рисунке.

Принцип Кавальери гласит: если два тела имеют одинаковые высоты, и если площади их сечений, образованных любой плоскостью, параллельной основаниям и находящейся на одинаковом расстоянии от них, равны, то объёмы этих тел также равны.

Проведём секущую плоскость, параллельную плоскости оснований, на произвольной высоте от неё. Сечением цилиндра будет круг, который равен основанию, и его площадь равна $S$. Сечением призмы будет многоугольник, который также равен основанию, и его площадь тоже равна $S$.

Поскольку площади поперечных сечений обоих тел на любой высоте равны ($S_{сечения\;цилиндра} = S_{сечения\;призмы} = S$), то, согласно принципу Кавальери, их объёмы равны: $V_{цилиндра} = V_{призмы}$.

Объём призмы, как известно, вычисляется как произведение площади её основания на высоту: $V_{призмы} = S \cdot h$.

Из равенства объёмов следует, что объём цилиндра также равен $S \cdot h$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Объём цилиндра $V$ с площадью основания $S$ и высотой $h$ вычисляется по формуле $V = S \cdot h$.