Номер 1210, страница 317 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1210, страница 317.

Условие.

1210 Докажите, что объём пирамиды равен одной трети произведе- ния площади основания на высоту.

Решение

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим две пира- миды, «стоящие» на одной плоскости: произвольную пирами- ду с площадью основания $S$ и высотой $PH = h$ и правильную четырёхугольную пирамиду с высотой $QO = h$ и стороной осно- вания $2h$ (рис. 359). Согласно доказанному в п. 128 объём вто- рой пирамиды равен $\frac{1}{3}(2h)^2 \cdot h = \frac{4}{3}h^3$. Требуется доказать, что объём $V$ первой пирамиды равен $\frac{1}{3}Sh$.

Рис. 359

Проведём секущую плоскость, параллельную плоскости осно- ваний пирамид и пересекающую высоты $PH$ и $QO$ в точках $H_1$ и $O_1$ соответственно. Площадь сечения первой пирамиды рав- на $(\frac{PH_1}{PH})^2 \cdot S$, а площадь сечения второй — $(\frac{QO_1}{QO})^2 \cdot 4h^2$ (см. за- дачу 1209). По условию $PH = QO = h$. Интуитивно ясно также, что $PH_1 = QO_1$ (аккуратное доказательство этого факта будет дано в курсе стереометрии 10—11 классов).

Следовательно, площадь сечения первой пирамиды в $\frac{S}{4h^2}$ раз больше площади сечения второй пирамиды. Поэтому и её объ- ём $V$ в $\frac{S}{4h^2}$ раз больше, т. е. $V = \frac{S}{4h^2} \cdot \frac{4}{3}h^2 \cdot h = \frac{1}{3}Sh$, что и тре- бовалось доказать.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Для доказательства воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим две пирамиды, основания которых лежат в одной плоскости $\alpha$ и которые имеют одинаковую высоту $h$.

Первая пирамида — это произвольная пирамида, объём которой мы хотим найти. Пусть площадь её основания равна $S$, а высота — $h$. Обозначим её объём через $V$.

Вторая пирамида — это пирамида для сравнения, в данном случае — правильная четырёхугольная пирамида, у которой высота также равна $h$, а в основании лежит квадрат со стороной $2h$. Объём этой пирамиды ($V_{ср}$), согласно ранее доказанной теореме для такого вида пирамид, равен:
$V_{ср} = \frac{1}{3} S_{ср} \cdot h = \frac{1}{3} (2h)^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4h^2 \cdot h = \frac{4}{3}h^3$.

Проведём секущую плоскость $\beta$, параллельную плоскости оснований $\alpha$, на произвольном расстоянии $x$ от вершин пирамид (где $0 < x < h$). Эта плоскость пересечёт обе пирамиды, образовав сечения. Найдём площади этих сечений.

Сечение любой пирамиды плоскостью, параллельной основанию, является многоугольником, подобным основанию. Отношение площади сечения к площади основания равно квадрату отношения их расстояний от вершины.

Для произвольной пирамиды (первой) площадь сечения $S'$ равна:
$\frac{S'}{S} = \left(\frac{x}{h}\right)^2 \implies S' = S \cdot \frac{x^2}{h^2}$.

Для пирамиды сравнения (второй) площадь сечения $S'_{ср}$ равна (учитывая, что площадь её основания $S_{ср} = (2h)^2 = 4h^2$):
$\frac{S'_{ср}}{S_{ср}} = \left(\frac{x}{h}\right)^2 \implies S'_{ср} = S_{ср} \cdot \frac{x^2}{h^2} = 4h^2 \cdot \frac{x^2}{h^2} = 4x^2$.

Теперь найдём отношение площадей этих двух сечений, находящихся на одной и той же высоте от вершины:
$\frac{S'}{S'_{ср}} = \frac{S \cdot \frac{x^2}{h^2}}{4x^2} = \frac{S \cdot x^2}{h^2 \cdot 4x^2} = \frac{S}{4h^2}$.

Как видно, это отношение является постоянной величиной для любого $x$ от $0$ до $h$.

Согласно обобщенному принципу Кавальери, если для двух тел можно установить такое соответствие, что площади их сечений, параллельных некоторой плоскости, относятся как постоянное число, то и объёмы этих тел относятся как это же число.
Следовательно, отношение объёма произвольной пирамиды $V$ к объёму пирамиды сравнения $V_{ср}$ равно:
$\frac{V}{V_{ср}} = \frac{S}{4h^2}$.

Из этого соотношения выразим искомый объём $V$:
$V = V_{ср} \cdot \frac{S}{4h^2}$.
Подставляя известное значение объёма пирамиды сравнения $V_{ср} = \frac{4}{3}h^3$, получаем:
$V = \left(\frac{4}{3}h^3\right) \cdot \frac{S}{4h^2} = \frac{4h^3 S}{3 \cdot 4h^2} = \frac{1}{3}Sh$.
Таким образом, мы доказали, что объём произвольной пирамиды равен одной трети произведения площади её основания на высоту.

Ответ: Доказано, что объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Формула объёма: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$.