Номер 1210, страница 317 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1210, страница 317.

Условие.

1210 Докажите, что объём пирамиды равен одной трети произведе- ния площади основания на высоту.

Решение

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим две пира- миды, «стоящие» на одной плоскости: произвольную пирами- ду с площадью основания $S$ и высотой $PH = h$ и правильную четырёхугольную пирамиду с высотой $QO = h$ и стороной осно- вания $2h$ (рис. 359). Согласно доказанному в п. 128 объём вто- рой пирамиды равен $\frac{1}{3}(2h)^2 \cdot h = \frac{4}{3}h^3$. Требуется доказать, что объём $V$ первой пирамиды равен $\frac{1}{3}Sh$.

Рис. 359

Проведём секущую плоскость, параллельную плоскости осно- ваний пирамид и пересекающую высоты $PH$ и $QO$ в точках $H_1$ и $O_1$ соответственно. Площадь сечения первой пирамиды рав- на $(\frac{PH_1}{PH})^2 \cdot S$, а площадь сечения второй — $(\frac{QO_1}{QO})^2 \cdot 4h^2$ (см. за- дачу 1209). По условию $PH = QO = h$. Интуитивно ясно также, что $PH_1 = QO_1$ (аккуратное доказательство этого факта будет дано в курсе стереометрии 10—11 классов).

Следовательно, площадь сечения первой пирамиды в $\frac{S}{4h^2}$ раз больше площади сечения второй пирамиды. Поэтому и её объ- ём $V$ в $\frac{S}{4h^2}$ раз больше, т. е. $V = \frac{S}{4h^2} \cdot \frac{4}{3}h^2 \cdot h = \frac{1}{3}Sh$, что и тре- бовалось доказать.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 9.