Номер 1208, страница 316 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1208, страница 316.

Условие.

1208 Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона её основания равна $a$, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведённого через вершину пирамиды и большую диагональ основания.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида. Сторона её основания равна $a$. Вершина пирамиды — $S$, а центр основания — $O$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок.пов.}$ — это сумма площадей шести одинаковых боковых граней (равнобедренных треугольников). $S_{бок.пов.} = 6 \cdot S_{бок.грани}$.

Площадь одной боковой грани, являющейся равнобедренным треугольником с основанием $a$, равна половине произведения основания на апофему пирамиды $h_a$ (высоту боковой грани): $S_{бок.грани} = \frac{1}{2} a \cdot h_a$.

Сечение, проведённое через вершину пирамиды $S$ и большую диагональ основания, также является равнобедренным треугольником. Основанием этого треугольника служит большая диагональ правильного шестиугольника. Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. Высотой этого треугольника является высота самой пирамиды $H$. Площадь этого сечения $S_{сечения}$ равна: $S_{сечения} = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot H = aH$.

Согласно условию задачи, площади боковой грани и сечения равны: $S_{бок.грани} = S_{сечения}$ $\frac{1}{2} a h_a = aH$ Отсюда находим соотношение между апофемой и высотой пирамиды: $h_a = 2H$.

Свяжем высоту пирамиды $H$, апофему $h_a$ и апофему основания (расстояние от центра основания до середины его стороны) $r_{осн}$ через теорему Пифагора. Они образуют прямоугольный треугольник, где $h_a$ — гипотенуза, а $H$ и $r_{осн}$ — катеты. $h_a^2 = H^2 + r_{осн}^2$.

Апофема правильного шестиугольника со стороной $a$ равна высоте равностороннего треугольника со стороной $a$: $r_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставляем это значение в уравнение Пифагора: $h_a^2 = H^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = H^2 + \frac{3a^2}{4}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1) $h_a = 2H$ 2) $h_a^2 = H^2 + \frac{3a^2}{4}$ Подставим первое уравнение во второе: $(2H)^2 = H^2 + \frac{3a^2}{4}$ $4H^2 = H^2 + \frac{3a^2}{4}$ $3H^2 = \frac{3a^2}{4}$ $H^2 = \frac{a^2}{4}$ Поскольку высота не может быть отрицательной, $H = \frac{a}{2}$.

Теперь найдем апофему пирамиды $h_a$: $h_a = 2H = 2 \cdot \frac{a}{2} = a$.

Наконец, вычисляем площадь боковой поверхности пирамиды: $S_{бок.пов.} = 6 \cdot S_{бок.грани} = 6 \cdot \left(\frac{1}{2} a h_a\right) = 3 a h_a$. Подставляем найденное значение $h_a$: $S_{бок.пов.} = 3a \cdot a = 3a^2$.

Ответ: $3a^2$