Номер 1207, страница 316 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1207, страница 316.

Условие.

1207 Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые рёбра пирамиды, если её высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть основанием пирамиды является ромб $ABCD$, точка $O$ — точка пересечения его диагоналей, а $S$ — вершина пирамиды. Согласно условию, высота пирамиды $SO$ опущена в точку пересечения диагоналей основания, и её длина $H = SO = 7$ см.

В основании лежит ромб со стороной $a = 5$ см и одной из диагоналей $d_1 = 8$ см. Пусть это будет диагональ $AC$.

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным ($\angle AOB = 90^\circ$). Половина известной диагонали $AC$ будет одним из катетов этого треугольника:
$AO = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Гипотенузой в треугольнике $\triangle AOB$ является сторона ромба $AB = 5$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $BO$, который является половиной второй диагонали:
$BO^2 = AB^2 - AO^2$
$BO^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
$BO = \sqrt{9} = 3$ см.

Таким образом, мы имеем половины диагоналей: $AO = OC = 4$ см и $BO = OD = 3$ см.

Так как высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания, она перпендикулярна отрезкам $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$. Боковые рёбра пирамиды $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках $\triangle SOA$, $\triangle SOB$, $\triangle SOC$ и $\triangle SOD$ соответственно.

Найдём длины боковых рёбер по теореме Пифагора:

1. Для рёбер $SA$ и $SC$ (из $\triangle SOA$ и $\triangle SOC$):
Катеты: $SO = 7$ см и $AO = OC = 4$ см.
$SA^2 = SO^2 + AO^2 = 7^2 + 4^2 = 49 + 16 = 65$
$SA = SC = \sqrt{65}$ см.

2. Для рёбер $SB$ и $SD$ (из $\triangle SOB$ и $\triangle SOD$):
Катеты: $SO = 7$ см и $BO = OD = 3$ см.
$SB^2 = SO^2 + BO^2 = 7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58$
$SB = SD = \sqrt{58}$ см.

Пирамида имеет две пары равных боковых рёбер.

Ответ: два боковых ребра равны $\sqrt{65}$ см, а два других — $\sqrt{58}$ см.