Номер 1204, страница 316 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1204, страница 316.

Условие.

1204 Изобразите тетраэдр $DABC$, отметьте точки $M$ и $N$ на рёбрах $BD$ и $CD$ и внутреннюю точку $K$ грани $ABC$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью $MNK$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения сечения тетраэдра $DABC$ плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$, необходимо выполнить следующие шаги, основанные на методе следов.

1. Анализ исходных данных и первый отрезок сечения.

   Изобразим тетраэдр $DABC$. По условию, точка $M$ лежит на ребре $BD$, а точка $N$ — на ребре $CD$. Обе эти точки принадлежат как секущей плоскости $(MNK)$, так и плоскости грани $(BCD)$. Следовательно, отрезок $MN$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $BCD$ и одной из сторон искомого сечения. Соединяем точки $M$ и $N$.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания.

   След — это прямая, по которой секущая плоскость пересекается с одной из плоскостей граней тетраэдра. Построим след секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABC)$.

   • Прямая $MN$ лежит в плоскости грани $(BCD)$. В этой же плоскости лежит ребро $BC$ тетраэдра, которое принадлежит плоскости основания $(ABC)$.
   • Поскольку прямые $MN$ и $BC$ лежат в одной плоскости $(BCD)$, они либо параллельны, либо пересекаются. Рассмотрим общий случай, когда они пересекаются. Продлим отрезки $MN$ и $BC$ до их пересечения в точке $P$.
   • Точка $P$ принадлежит прямой $MN$, а значит, принадлежит и секущей плоскости $(MNK)$.
   • Точка $P$ принадлежит прямой $BC$, а значит, принадлежит и плоскости основания $(ABC)$.
   • Таким образом, точка $P$ является общей точкой для плоскостей $(MNK)$ и $(ABC)$.
   • По условию, точка $K$ также является общей для этих двух плоскостей.
   • Следовательно, прямая $PK$ является линией пересечения (следом) плоскости $(MNK)$ с плоскостью $(ABC)$. Проводим эту прямую.

   Примечание: В частном случае, если $MN \parallel BC$, то секущая плоскость $(MNK)$ будет пересекать параллельную ей плоскость $(ABC)$ по прямой, параллельной $MN$ и $BC$. В этом случае след будет проходить через точку $K$ параллельно $BC$.

3. Нахождение остальных вершин и сторон сечения.

   След $PK$ лежит в плоскости основания $(ABC)$ и пересекает ребра этого основания. Найдем точки пересечения.

   • Прямая $PK$ пересекает ребро $AB$ в точке $E$. Так как $E \in AB$, точка $E$ принадлежит грани $ABD$.
   • Прямая $PK$ пересекает ребро $AC$ в точке $F$. Так как $F \in AC$, точка $F$ принадлежит грани $ACD$.
   • Отрезок $EF$ является стороной сечения, лежащей в грани $ABC$.
   • Соединим точку $E$ на ребре $AB$ с точкой $M$ на ребре $BD$. Обе точки лежат в плоскости грани $(ABD)$, поэтому отрезок $EM$ — сторона сечения.
   • Соединим точку $F$ на ребре $AC$ с точкой $N$ на ребре $CD$. Обе точки лежат в плоскости грани $(ACD)$, поэтому отрезок $FN$ — сторона сечения.
4. Итоговое сечение.

   Последовательно соединив точки $M \rightarrow N \rightarrow F \rightarrow E \rightarrow M$, мы получаем четырехугольник $MNFE$. Этот четырехугольник и является искомым сечением тетраэдра плоскостью $(MNK)$.

Ответ: Построенный четырехугольник $MNFE$ является искомым сечением тетраэдра $DABC$ плоскостью $(MNK)$.