Номер 1205, страница 316 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1205, страница 316.

Условие.

1205 Докажите, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства воспользуемся определением правильной пирамиды и её апофемы, а также теоремой Пифагора (или признаком равенства прямоугольных треугольников).

Правильная пирамида — это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника.
Апофема правильной пирамиды — это высота её боковой грани, проведённая из вершины пирамиды.

Пусть дана правильная $n$-угольная пирамида с вершиной $S$ и центром основания $O$. Высота пирамиды — это отрезок $SO$. Рассмотрим две произвольные боковые грани, например, $SA_1A_2$ и $SA_2A_3$. Проведём в этих гранях апофемы $SK_1$ и $SK_2$ соответственно. По определению, $SK_1$ — высота в треугольнике $SA_1A_2$, а $SK_2$ — высота в треугольнике $SA_2A_3$.

Рассмотрим треугольники $\triangle SOK_1$ и $\triangle SOK_2$. Докажем, что они являются равными прямоугольными треугольниками.

• Так как $SO$ — высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, $SO$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$, то есть $SO \perp OK_1$ и $SO \perp OK_2$. Это означает, что треугольники $\triangle SOK_1$ и $\triangle SOK_2$ — прямоугольные с прямым углом при вершине $O$.
• Катет $SO$ является общим для обоих треугольников.
• Рассмотрим катеты $OK_1$ и $OK_2$. Боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками (поскольку все боковые ребра равны и все стороны основания равны). В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой. Значит, точки $K_1$ и $K_2$ — это середины сторон основания $A_1A_2$ и $A_2A_3$. Отрезки $OK_1$ и $OK_2$ соединяют центр правильного многоугольника с серединами его сторон. Такие отрезки являются радиусами вписанной в многоугольник окружности. В правильном многоугольнике все радиусы вписанной окружности равны. Следовательно, $OK_1 = OK_2$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle SOK_1$ и $\triangle SOK_2$ равны по двум катетам (общий катет $SO$ и равные катеты $OK_1$ и $OK_2$). Из равенства треугольников следует и равенство их гипотенуз: $SK_1 = SK_2$.

Поскольку мы выбрали две произвольные боковые грани, это доказательство справедливо для любой пары апофем. Следовательно, все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Ответ: Утверждение доказано.