Номер 1209, страница 316 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1209, страница 316.

Условие.

1209*Через точку $H_1$ высоты $PH$ пирамиды $PA_1A_2...A_n$ проведена секущая плоскость $\beta$, параллельная плоскости $\alpha$ её основания.

Докажите, что площадь полученного сечения равна $(\frac{PH_1}{PH})^2 \cdot S$, где $S$ — площадь основания пирамиды.

Решение

Докажем это утверждение сначала для треугольной пирамиды, а затем — для произвольной пирамиды.

Рассмотрим треугольную пирамиду $PA_1A_2A_3$ и докажем, что рассматриваемое сечение представляет собой треугольник $B_1B_2B_3$, подобный треугольнику $A_1A_2A_3$ с коэффициентом подобия $k = \frac{PH_1}{PH}$ (рис. 358, а). Прямоугольные треугольники $PHA_1$ и $PH_1B_1$ подобны по двум углам (угол $P$ — общий; $\angle PH_1B_1 = \angle PHA_1 = 90^\circ$, так как в противном случае прямые $HA_1$ и $H_1B_1$, а значит, и плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекались бы, что противоречит условию), поэтому $\frac{PB_1}{PA_1} = \frac{PH_1}{PH} = k$. Аналогично из подобия треугольников $PHA_2$ и $PH_1B_2$ находим: $\frac{PB_2}{PA_2} = \frac{PH_1}{PH}$.

Рис. 358

Таким образом, $\frac{PB_1}{PA_1} = \frac{PB_2}{PA_2} = k$, откуда следует, что треугольники $PB_1B_2$ и $PA_1A_2$ подобны по второму признаку подобия треугольников. Поэтому $\frac{B_1B_2}{A_1A_2} = k$. Точно так же доказывается, что $\frac{B_2B_3}{A_2A_3} = k$ и $\frac{B_3B_1}{A_3A_1} = k$. Таким образом, треугольники $B_1B_2B_3$ и $A_1A_2A_3$ подобны с коэффициентом подобия $k = \frac{PH_1}{PH}$, и, следовательно, площадь треугольника $B_1B_2B_3$ равна $(\frac{PH_1}{PH})^2 \cdot S$.

Рассмотрим теперь произвольную пирамиду. Её можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой $PH$ (на рисунке 358, б показано разбиение выпуклой пятиугольной пирамиды). Поэтому площадь сечения равна

$S_{B_1B_2B_3} + \dots + S_{B_1B_{n-1}B_n} = (\frac{PH_1}{PH})^2 \cdot (S_{A_1A_2A_3} + \dots + S_{A_1A_{n-1}A_n}) = (\frac{PH_1}{PH})^2 \cdot S$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.