Номер 1214, страница 323 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1214, страница 323.

Условие.

1214 Пусть $V$, $r$ и $h$ — соответственно объём, радиус и высота цилиндра. Найдите:

а) $V$, если $r = 2\sqrt{2}$ см, $h = 3$ см;

б) $r$, если $V = 120$ см$^3$, $h = 3,6$ см;

в) $h$, если $r = h$, $V = 8\pi$ см$^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Общая формула для объёма цилиндра: $V = \pi r^2 h$, где $V$ — объём, $r$ — радиус основания, а $h$ — высота.

а)

По условию, радиус $r = 2\sqrt{2}$ см, а высота $h = 3$ см.
Подставляем эти значения в формулу объёма:

$V = \pi \cdot (2\sqrt{2})^2 \cdot 3 = \pi \cdot (4 \cdot 2) \cdot 3 = \pi \cdot 8 \cdot 3 = 24\pi$ (см³).

Ответ: $V = 24\pi$ см³.

б)

По условию, объём $V = 120$ см³, а высота $h = 3,6$ см.
Из формулы объёма выразим радиус $r$:

$r^2 = \frac{V}{\pi h} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$r = \sqrt{\frac{120}{\pi \cdot 3,6}} = \sqrt{\frac{1200}{36\pi}} = \sqrt{\frac{100}{3\pi}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3\pi}} = \frac{10}{\sqrt{3\pi}}$ (см).

Ответ: $r = \frac{10}{\sqrt{3\pi}}$ см.

в)

По условию, радиус равен высоте ($r = h$), а объём $V = 8\pi$ см³.
Подставим $r = h$ в основную формулу объёма:

$V = \pi \cdot h^2 \cdot h = \pi h^3$

Теперь подставим значение объёма и решим уравнение относительно $h$:

$8\pi = \pi h^3$
$h^3 = \frac{8\pi}{\pi}$
$h^3 = 8$
$h = \sqrt[3]{8} = 2$ (см).

Ответ: $h = 2$ см.