Номер 1218, страница 323 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1218, страница 323.

Условие.

1218 Один цилиндр получен вращением прямоугольника $ABCD$ вокруг прямой $AB$, а другой цилиндр — вращением этого же прямоугольника вокруг прямой $BC$.

а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны.

б) Найдите отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров, если $AB=a$, $BC=b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) Пусть стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AB = a$ и $BC = b$.
Рассмотрим первый цилиндр, который получен вращением прямоугольника вокруг прямой $AB$. В этом случае высота цилиндра $H_1$ будет равна длине стороны $AB$, а радиус основания $R_1$ будет равен длине стороны $BC$. Таким образом, $H_1 = a$ и $R_1 = b$.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R H$. Для первого цилиндра получим: $S_{бок1} = 2 \pi R_1 H_1 = 2 \pi b a$.
Теперь рассмотрим второй цилиндр, полученный вращением того же прямоугольника вокруг прямой $BC$. В этом случае высота цилиндра $H_2$ будет равна $BC$, а радиус основания $R_2$ будет равен $AB$. Таким образом, $H_2 = b$ и $R_2 = a$.
Площадь его боковой поверхности будет равна: $S_{бок2} = 2 \pi R_2 H_2 = 2 \pi a b$.
Сравнивая площади боковых поверхностей двух цилиндров, видим, что $S_{бок1} = 2 \pi ab$ и $S_{бок2} = 2 \pi ab$. Следовательно, $S_{бок1} = S_{бок2}$, что и требовалось доказать.
Ответ: Площади боковых поверхностей равны.

б) Площадь полной поверхности цилиндра находится по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2 \pi R H + 2 \pi R^2 = 2 \pi R(H+R)$.
Для первого цилиндра (вращение вокруг $AB$) с параметрами $H_1 = a$ и $R_1 = b$, площадь полной поверхности равна:$S_{полн1} = 2 \pi R_1 (H_1 + R_1) = 2 \pi b (a + b)$.
Для второго цилиндра (вращение вокруг $BC$) с параметрами $H_2 = b$ и $R_2 = a$, площадь полной поверхности равна:$S_{полн2} = 2 \pi R_2 (H_2 + R_2) = 2 \pi a (b + a)$.
Теперь найдем отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров:$\frac{S_{полн1}}{S_{полн2}} = \frac{2 \pi b (a + b)}{2 \pi a (a + b)}$
После сокращения общих множителей $2\pi$ и $(a+b)$ в числителе и знаменателе, получаем:$\frac{S_{полн1}}{S_{полн2}} = \frac{b}{a}$
Ответ: $\frac{b}{a}$.