Номер 1224, страница 325 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1224, страница 325.

Условие.

1224* Докажите, что объём шара радиуса $R$ равен $\frac{4}{3}\pi R^3$.

Решение

Рассмотрим два тела: половину шара радиуса $R$ и тело $T$, представляющее собой цилиндр радиуса $R$ с высотой $R$, из которого вырезан конус с радиусом основания и высотой $R$. Представим себе, что оба тела «стоят» на плоскости $\alpha$ так, как показано на рисунке 368. Проведём секущую плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$ и пересекающую радиус шара $OA$, перпендикулярный к плоскости $\alpha$, в точке $A_1$, а высоту $BH$ конуса — в точке $B_1$.

Сечение половины шара представляет собой круг радиуса $\sqrt{R^2 - OA_1^2}$ (см. рис. 368). Поэтому площадь этого круга равна $\pi (R^2 - OA_1^2)$.

Сечение тела $T$ представляет собой кольцо, площадь которого равна разности площадей двух кругов: круга радиуса $R$ и круга радиуса $B_1B_2$ (см. рис. 368), т. е. равна $\pi (R^2 - B_1B_2^2)$. Но $B_1B_2 = BB_1$ (объясните почему) и, кроме того, $BB_1 = OA_1$ (доказательство этого наглядно очевидного факта будет приведено в курсе стереометрии 10—11 классов).

Таким образом, площадь сечения половины шара равна площади сечения тела $T$. Поэтому и объём половины шара равен объёму этого тела. В свою очередь, объём $V$ тела $T$ можно вычислить как разность объёмов цилиндра и конуса:

$V = \pi R^2 \cdot R - \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot R = \frac{2}{3}\pi R^3$

Итак, объём половины шара равен $\frac{2}{3}\pi R^3$ и, следовательно, объём всего шара равен $\frac{4}{3}\pi R^3$.

Рис. 368

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Для доказательства воспользуемся методом, основанным на принципе Кавальери. Рассмотрим два тела, расположенных на одной плоскости $\alpha$: половину шара радиуса $R$ и тело $T$. Тело $T$ представляет собой цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $R$, из которого вырезан конус с тем же радиусом основания $R$ и высотой $R$.

Проведем секущую плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$ на произвольной высоте $h$ от нее (где $0 \le h \le R$). Сравним площади сечений, которые эта плоскость образует в обоих телах.

1. Сечение половины шара.

Сечение половины шара плоскостью $\beta$ представляет собой круг. Обозначим радиус этого круга как $r$. Из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота сечения $h$ (на рисунке отрезок $OA_1$) и радиус сечения $r$, а гипотенузой — радиус шара $R$, по теореме Пифагора получаем: $r^2 + h^2 = R^2$.

Отсюда, квадрат радиуса сечения равен $r^2 = R^2 - h^2$.

Площадь этого сечения ($S_1$) вычисляется по формуле площади круга:

$S_1 = \pi r^2 = \pi(R^2 - h^2)$.

2. Сечение тела T.

Сечение тела $T$ плоскостью $\beta$ представляет собой кольцо. Площадь этого кольца равна разности площадей сечения цилиндра и сечения конуса на той же высоте $h$.

Сечение цилиндра — это круг радиуса $R$, его площадь постоянна и равна $\pi R^2$.

Сечение конуса — это также круг. Найдем его радиус $r_k$ (на рисунке отрезок $B_1B_2$) на высоте $h$ (на рисунке отрезок $BB_1$). Так как высота конуса равна радиусу его основания ($H=R$), то осевое сечение конуса является равнобедренным прямоугольным треугольником. Из подобия треугольников следует, что радиус сечения конуса на высоте $h$ равен этой высоте: $r_k = h$.

Площадь сечения конуса (центральной части, вырезанной из цилиндра) равна $\pi r_k^2 = \pi h^2$.

Таким образом, площадь сечения-кольца ($S_2$) тела $T$ равна:

$S_2 = (\text{Площадь сечения цилиндра}) - (\text{Площадь сечения конуса}) = \pi R^2 - \pi h^2 = \pi(R^2 - h^2)$.

3. Применение принципа Кавальери и вычисление объема.

Мы видим, что на любой высоте $h$ площади сечений обоих тел равны: $S_1 = S_2$. Согласно принципу Кавальери, если два тела имеют равные площади поперечных сечений на любой высоте, то их объемы равны. Следовательно, объем половины шара равен объему тела $T$.

$V_{полушара} = V_T$.

Вычислим объем тела $T$ как разность объемов цилиндра ($V_{цил}$) и конуса ($V_{кон}$):

$V_{цил} = \pi R^2 \cdot H = \pi R^2 \cdot R = \pi R^3$

$V_{кон} = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot H = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3}\pi R^3$

$V_T = V_{цил} - V_{кон} = \pi R^3 - \frac{1}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3$.

Итак, объем половины шара равен $V_{полушара} = \frac{2}{3}\pi R^3$.

Объем всего шара ($V_{шара}$) в два раза больше объема половины шара:

$V_{шара} = 2 \cdot V_{полушара} = 2 \cdot \frac{2}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Доказательство завершено.

Ответ: Доказано, что объем шара радиуса $R$ равен $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.