Номер 1224, страница 325 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1224, страница 325.

Условие.

1224* Докажите, что объём шара радиуса $R$ равен $\frac{4}{3}\pi R^3$.

Решение

Рассмотрим два тела: половину шара радиуса $R$ и тело $T$, представляющее собой цилиндр радиуса $R$ с высотой $R$, из которого вырезан конус с радиусом основания и высотой $R$. Представим себе, что оба тела «стоят» на плоскости $\alpha$ так, как показано на рисунке 368. Проведём секущую плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$ и пересекающую радиус шара $OA$, перпендикулярный к плоскости $\alpha$, в точке $A_1$, а высоту $BH$ конуса — в точке $B_1$.

Сечение половины шара представляет собой круг радиуса $\sqrt{R^2 - OA_1^2}$ (см. рис. 368). Поэтому площадь этого круга равна $\pi (R^2 - OA_1^2)$.

Сечение тела $T$ представляет собой кольцо, площадь которого равна разности площадей двух кругов: круга радиуса $R$ и круга радиуса $B_1B_2$ (см. рис. 368), т. е. равна $\pi (R^2 - B_1B_2^2)$. Но $B_1B_2 = BB_1$ (объясните почему) и, кроме того, $BB_1 = OA_1$ (доказательство этого наглядно очевидного факта будет приведено в курсе стереометрии 10—11 классов).

Таким образом, площадь сечения половины шара равна площади сечения тела $T$. Поэтому и объём половины шара равен объёму этого тела. В свою очередь, объём $V$ тела $T$ можно вычислить как разность объёмов цилиндра и конуса:

$V = \pi R^2 \cdot R - \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot R = \frac{2}{3}\pi R^3$

Итак, объём половины шара равен $\frac{2}{3}\pi R^3$ и, следовательно, объём всего шара равен $\frac{4}{3}\pi R^3$.

Рис. 368

Решение 2.

Решение 4.

Решение 9.