Номер 1198, страница 315 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1198, страница 315.

Условие.

1198 Докажите, что объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Решение

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим призму и прямоугольный параллелепипед с площадями оснований, равными $S$, и высотами, равными $h$, «стоящие» на одной плоскости (рис. 357).

Докажем, что объём призмы равен $Sh$. Любая секущая плоскость, параллельная плоскости оснований, даёт в качестве сечения призмы равный её основанию многоугольник площади $S$, а в качестве сечения прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник площади $S$. Следовательно, объём призмы равен объёму параллелепипеда. Но объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, т. е. равен $Sh$. Поэтому и объём призмы равен $Sh$.

Рис. 357

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Докажите, что объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Для доказательства воспользуемся принципом Кавальери, который позволяет сравнивать объёмы двух тел.

Рассмотрим два пространственных тела:

1. Произвольную призму, площадь основания которой равна $S$, а высота равна $h$.
2. Прямоугольный параллелепипед, площадь основания которого также равна $S$, а высота — $h$.

Разместим оба этих тела так, чтобы их основания лежали в одной и той же плоскости, назовем её $\alpha$.

Теперь проведём секущую плоскость $\beta$, параллельную плоскости оснований $\alpha$, на произвольном расстоянии $z$ от плоскости $\alpha$ (где $0 \le z \le h$). Эта плоскость пересечёт оба тела, создав в каждом из них сечение.

1. Рассмотрим сечение призмы. По определению призмы, любое сечение, параллельное основанию, является многоугольником, равным основанию. Следовательно, площадь сечения призмы на любой высоте $z$ будет равна площади её основания, то есть $S$.

2. Рассмотрим сечение прямоугольного параллелепипеда. Аналогично, сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, параллельной основанию, является прямоугольником, равным его основанию. Значит, площадь этого сечения также равна $S$.

Таким образом, для любой высоты $z$ от $0$ до $h$ площади поперечных сечений призмы и прямоугольного параллелепипеда равны между собой и равны $S$.

Принцип Кавальери гласит: если два тела имеют одинаковую высоту, и площади их сечений плоскостями, параллельными основаниям и находящимися на равных расстояниях от них, равны для любого такого расстояния, то объёмы этих тел также равны.

Так как оба наших тела — призма и параллелепипед — удовлетворяют условиям принципа Кавальери (одинаковая высота $h$ и равные площади поперечных сечений $S$ на любой высоте), их объёмы равны:

$V_{призмы} = V_{параллелепипеда}$

Объём прямоугольного параллелепипеда хорошо известен и вычисляется как произведение площади его основания на высоту:

$V_{параллелепипеда} = S \cdot h$

Из равенства объёмов следует, что объём произвольной призмы также равен произведению площади её основания на высоту:

$V_{призмы} = S \cdot h$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Объём призмы равен произведению площади её основания на высоту, что выражается формулой $V = S \cdot h$. Доказательство основано на принципе Кавальери, который позволяет приравнять объём любой призмы к объёму прямоугольного параллелепипеда с такими же площадью основания и высотой.