Номер 1197, страница 315 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1197, страница 315.

Условие.

1197. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если $AC_1 = 13$ см, $BD = 12$ см и $BC_1 = 11$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (длина, ширина и высота) равны $AB = a$, $BC = b$ и $CC_1 = c$. Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
$V = a \cdot b \cdot c$

Из условия задачи нам даны:
1. Диагональ параллелепипеда $AC_1 = 13$ см.
2. Диагональ основания $BD = 12$ см.
3. Диагональ боковой грани $BC_1 = 11$ см.

Для нахождения измерений параллелепипеда воспользуемся теоремой Пифагора для различных прямоугольных треугольников внутри него.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. Для диагонали $AC_1$ это соотношение выглядит так:
$AC_1^2 = AB^2 + BC^2 + CC_1^2$
$13^2 = a^2 + b^2 + c^2$
$a^2 + b^2 + c^2 = 169$ (1)

Основание $ABCD$ является прямоугольником. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. По теореме Пифагора для диагонали основания $BD$:
$BD^2 = AB^2 + AD^2$
Так как $AD = BC = b$, то:
$BD^2 = a^2 + b^2$
$12^2 = a^2 + b^2$
$a^2 + b^2 = 144$ (2)

Боковая грань $BCC_1B_1$ также является прямоугольником. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$. По теореме Пифагора для диагонали боковой грани $BC_1$:
$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$
$BC_1^2 = b^2 + c^2$
$11^2 = b^2 + c^2$
$b^2 + c^2 = 121$ (3)

Мы получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными ($a^2, b^2, c^2$):
$ \begin{cases} a^2 + b^2 + c^2 = 169 & (1) \\ a^2 + b^2 = 144 & (2) \\ b^2 + c^2 = 121 & (3) \end{cases} $

Подставим выражение (2) в уравнение (1), чтобы найти $c^2$:
$(a^2 + b^2) + c^2 = 169$
$144 + c^2 = 169$
$c^2 = 169 - 144 = 25$

Подставим выражение (3) в уравнение (1), чтобы найти $a^2$:
$a^2 + (b^2 + c^2) = 169$
$a^2 + 121 = 169$
$a^2 = 169 - 121 = 48$

Теперь, используя уравнение (2) и найденное значение $a^2$, найдём $b^2$:
$a^2 + b^2 = 144$
$48 + b^2 = 144$
$b^2 = 144 - 48 = 96$

Итак, мы нашли квадраты измерений параллелепипеда: $a^2 = 48$, $b^2 = 96$, $c^2 = 25$.
Теперь можем найти объём. Возведём формулу объёма в квадрат:
$V^2 = (a \cdot b \cdot c)^2 = a^2 \cdot b^2 \cdot c^2$
$V^2 = 48 \cdot 96 \cdot 25$
Чтобы извлечь корень, разложим множители:
$V = \sqrt{48 \cdot 96 \cdot 25} = \sqrt{(16 \cdot 3) \cdot (16 \cdot 6) \cdot 25} = \sqrt{16^2 \cdot (3 \cdot 6) \cdot 5^2} = \sqrt{16^2 \cdot 18 \cdot 5^2}$
$V = 16 \cdot 5 \cdot \sqrt{18} = 80 \cdot \sqrt{9 \cdot 2} = 80 \cdot 3\sqrt{2} = 240\sqrt{2}$

Объём параллелепипеда равен $240\sqrt{2}$ см$^3$.

Ответ: $240\sqrt{2}$ см$^3$.