Номер 8, страница 327 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Вопросы к главе 14 - номер 8, страница 327.

Условие.

8 Объясните, в чём заключается принцип Кавальери.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Принцип Кавальери, также известный как метод неделимых, — это геометрический принцип, который позволяет сравнивать объёмы двух тел или площади двух фигур, не вычисляя их напрямую.

Принцип для объёмов (трёхмерный случай)

Если два пространственных тела заключены между двумя параллельными плоскостями, и любая плоскость, параллельная этим двум, пересекает оба тела по сечениям с равными площадями, то объёмы этих двух тел равны. Представьте стопку монет, образующую прямой цилиндр. Если сдвинуть монеты, чтобы получилась наклонная стопка, её объём не изменится, так как высота стопки и площадь каждой монеты (сечения) остались прежними. Математически это означает, что если для двух тел $T_1$ и $T_2$ площади их поперечных сечений $S_1(h)$ и $S_2(h)$ на любой высоте $h$ равны, то их объёмы $V_1$ и $V_2$ также равны. Это следует из интегрального определения объёма: $V = \int_{a}^{b} S(h) dh$. Если подынтегральные функции равны, то и интегралы будут равны, то есть $V_1 = V_2$.

Принцип для площадей (двумерный случай)

Аналогично для плоских фигур: если две фигуры на плоскости заключены между двумя параллельными прямыми, и любая прямая, параллельная этим двум, пересекает обе фигуры по отрезкам одинаковой длины, то площади этих фигур равны. Например, этот принцип наглядно показывает, почему площадь параллелограмма равна площади прямоугольника с теми же основанием и высотой. На любой высоте от основания длина горизонтального отрезка, пересекающего фигуру, у них будет одинаковой.

Ответ: Принцип Кавальери утверждает, что если два тела (или две плоские фигуры) имеют равные высоты, и на любом уровне от основания площади (или длины) их поперечных сечений равны, то их объёмы (или площади) также равны.