Номер 10, страница 327 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Вопросы к главе 14 - номер 10, страница 327.

Условие.

10 Докажите, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для доказательства того, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений (длины, ширины и высоты), обозначим их как $a$, $b$ и $c$. Требуется доказать, что объём $V$ равен $V = a \cdot b \cdot c$.

Доказательство можно провести, рассмотрев последовательно три случая для величин измерений. За единицу объёма принимается объём куба с ребром, равным единице длины.

1. Измерения – натуральные числа

Пусть измерения $a$, $b$ и $c$ являются натуральными числами. В этом случае прямоугольный параллелепипед можно разбить на единичные кубы (кубы с ребром 1).

Основание параллелепипеда представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Его можно разбить на $a \cdot b$ единичных квадратов. Таким образом, на основание можно уложить слой из $a \cdot b$ единичных кубов.

Поскольку высота параллелепипеда равна $c$, то в него можно уложить $c$ таких слоёв. Общее количество единичных кубов будет равно произведению количества кубов в одном слое на количество слоёв:

$V = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c$

Таким образом, для натуральных измерений формула верна.

2. Измерения – рациональные числа (положительные дроби)

Пусть измерения $a$, $b$ и $c$ – рациональные числа. Их можно представить в виде дробей с общим знаменателем $n$:

$a = \frac{p}{n}$, $b = \frac{q}{n}$, $c = \frac{r}{n}$, где $p, q, r, n$ – натуральные числа.

Возьмём новую единицу измерения длины, в $n$ раз меньшую исходной. В этой новой единице измерения рёбра параллелепипеда будут выражаться натуральными числами $p$, $q$ и $r$.

Объём параллелепипеда, измеренный в новых единицах (кубах с ребром $1/n$), согласно первому случаю, будет равен $p \cdot q \cdot r$.

Теперь вернёмся к первоначальной единице измерения. Объём одного такого маленького куба с ребром $\frac{1}{n}$ равен $(\frac{1}{n})^3 = \frac{1}{n^3}$ от объёма исходного единичного куба.

Следовательно, объём всего параллелепипеда в исходных единицах будет:

$V = (p \cdot q \cdot r) \cdot \frac{1}{n^3} = \frac{p}{n} \cdot \frac{q}{n} \cdot \frac{r}{n} = a \cdot b \cdot c$

Таким образом, для рациональных измерений формула также верна.

3. Хотя бы одно из измерений – иррациональное число

Этот случай доказывается методом предельного перехода. Любое иррациональное число можно с любой степенью точности приблизить рациональными числами.

Рассмотрим, например, измерение $a$ как иррациональное число. Мы можем подобрать две последовательности рациональных чисел $a_n$ и $a'_n$ таких, что для любого $n$:

$a_n < a < a'_n$

и разница $a'_n - a_n$ стремится к нулю при $n \to \infty$.

Тогда исходный параллелепипед с объёмом $V$ заключён между двумя другими параллелепипедами с рациональными измерениями:

• внутренним с объёмом $V_n = a_n \cdot b \cdot c$
• внешним с объёмом $V'_n = a'_n \cdot b \cdot c$

Очевидно, что $V_n < V < V'_n$.

Так как для рациональных чисел формула уже доказана, мы можем использовать её. При стремлении $n$ к бесконечности, $a_n$ и $a'_n$ стремятся к $a$. Следовательно, объёмы $V_n$ и $V'_n$ стремятся к одной и той же величине:

$\lim_{n\to\infty} V_n = \lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b \cdot c) = a \cdot b \cdot c$

$\lim_{n\to\infty} V'_n = \lim_{n\to\infty} (a'_n \cdot b \cdot c) = a \cdot b \cdot c$

Поскольку объём $V$ заключён между двумя величинами, стремящимися к одному и тому же пределу, он должен быть равен этому пределу.

$V = a \cdot b \cdot c$

Мы рассмотрели все возможные случаи для положительных действительных чисел и во всех случаях получили, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями $a, b, c$ вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.