Номер 9, страница 327 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Вопросы к главе 14 - номер 9, страница 327.

Условие.

9 Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда? Докажите, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда?
Измерениями прямоугольного параллелепипеда называют длины трёх его рёбер, которые выходят из одной общей вершины. Эти три ребра взаимно перпендикулярны. Как правило, их называют длиной, шириной и высотой параллелепипеда.
Ответ: Измерения прямоугольного параллелепипеда – это длины трёх его рёбер, сходящихся в одной вершине (длина, ширина и высота).

Докажите, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Обозначим его измерения (длины рёбер, выходящих из вершины A) как $a, b, c$:
$AB = a$ (длина),
$AD = b$ (ширина),
$AA_1 = c$ (высота).
Проведём диагональ параллелепипеда $AC_1$ и обозначим её длину как $d$. Нам нужно доказать, что $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
Доказательство проведём, дважды применив теорему Пифагора.

1. Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$, который лежит в основании параллелепипеда. Угол $\angle D = 90^\circ$, так как все грани — прямоугольники. Отрезок $AC$ является диагональю основания. По теореме Пифагора:
$AC^2 = AD^2 + DC^2$
Поскольку $AD = b$ и $DC = AB = a$, то получаем:
$AC^2 = b^2 + a^2$

2. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACC_1$. Ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая диагональ $AC$. Следовательно, $\triangle ACC_1$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ACC_1 = 90^\circ$.
Применим к этому треугольнику теорему Пифагора. Гипотенузой является диагональ параллелепипеда $AC_1$, а катетами — диагональ основания $AC$ и боковое ребро $CC_1$.
$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

3. Подставим в полученное равенство выражение для $AC^2$ из первого шага и учтём, что длина ребра $CC_1$ равна высоте $c$ ($CC_1 = AA_1 = c$), а $AC_1 = d$:
$d^2 = (a^2 + b^2) + c^2$
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Таким образом, доказано, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано. Квадрат диагонали ($d$) прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений ($a, b, c$): $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.