Номер 1188, страница 313 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1188, страница 313.

Условие.

1188 На трёх рёбрах параллелепипеда даны точки $A$, $B$ и $C$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки.

Решение

При построении сечений параллелепипеда нужно руководствоваться следующим правилом (оно будет обосновано в курсе стереометрии в 10 классе): отрезки, по которым секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда, параллельны.

1) Рассмотрим сначала случай расположения точек $A$, $B$ и $C$, изображённый на рисунке 355, $а$. Проведём отрезки $AB$ и $BC$.

Далее, руководствуясь указанным правилом, через точку $A$ проведём в плоскости «передней» грани прямую, параллельную $BC$, а через точку $C$ в плоскости боковой грани проведём прямую, параллельную $AB$. Пересечения этих прямых с рёбрами нижней грани дают точки $E$ и $D$ (рис. 355, $б$). Остаётся провести отрезок $DE$, и искомое сечение – пятиугольник $ABCDE$ – построено.

Рис. 355

2) Обратимся теперь к случаю, представленному на рисунке 356, $а$. Этот случай более трудный, чем предыдущий. Можно провести отрезки $AB$ и $BC$ (см. рис. 356, $а$), но что делать дальше? Поступим так. Сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания параллелепипеда. С этой целью продолжим отрезок $AB$ и нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и отрезок $AB$, до пересечения в точке $M$ (рис. 356, $б$). Далее, через точку $M$ проведём в плоскости нижнего основания прямую, параллельную $BC$. Это и есть та прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с рёбрами нижнего основания в точках $E$ и $F$. Затем через точку $E$ проведём прямую, параллельную прямой $AB$, и получим точку $D$. Наконец, проведём отрезки $AF$ и $CD$, и искомое сечение – шестиугольник $ABCDEF$ – построено.

Рис. 356

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 8.

Решение 9.