Номер 1188, страница 313 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1188, страница 313.

Условие.

1188 На трёх рёбрах параллелепипеда даны точки $A$, $B$ и $C$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки.

Решение

При построении сечений параллелепипеда нужно руководствоваться следующим правилом (оно будет обосновано в курсе стереометрии в 10 классе): отрезки, по которым секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда, параллельны.

1) Рассмотрим сначала случай расположения точек $A$, $B$ и $C$, изображённый на рисунке 355, $а$. Проведём отрезки $AB$ и $BC$.

Далее, руководствуясь указанным правилом, через точку $A$ проведём в плоскости «передней» грани прямую, параллельную $BC$, а через точку $C$ в плоскости боковой грани проведём прямую, параллельную $AB$. Пересечения этих прямых с рёбрами нижней грани дают точки $E$ и $D$ (рис. 355, $б$). Остаётся провести отрезок $DE$, и искомое сечение – пятиугольник $ABCDE$ – построено.

Рис. 355

2) Обратимся теперь к случаю, представленному на рисунке 356, $а$. Этот случай более трудный, чем предыдущий. Можно провести отрезки $AB$ и $BC$ (см. рис. 356, $а$), но что делать дальше? Поступим так. Сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания параллелепипеда. С этой целью продолжим отрезок $AB$ и нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и отрезок $AB$, до пересечения в точке $M$ (рис. 356, $б$). Далее, через точку $M$ проведём в плоскости нижнего основания прямую, параллельную $BC$. Это и есть та прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с рёбрами нижнего основания в точках $E$ и $F$. Затем через точку $E$ проведём прямую, параллельную прямой $AB$, и получим точку $D$. Наконец, проведём отрезки $AF$ и $CD$, и искомое сечение – шестиугольник $ABCDEF$ – построено.

Рис. 356

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения сечений параллелепипеда используется основное правило: если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, то прямые пересечения также параллельны.

1) Рассмотрим случай, изображенный на рисунке 355. Точки A, B и C расположены на рёбрах так, что точки A и B лежат в одной (передней) грани, а точки B и C — в другой (верхней) грани.

1. Так как точки A и B лежат в плоскости передней грани, соединяем их отрезком AB. Это одна из сторон искомого сечения.
2. Так как точки B и C лежат в плоскости верхней грани, соединяем их отрезком BC. Это вторая сторона сечения.
3. Для нахождения остальных сторон сечения воспользуемся свойствами секущей плоскости. В секущей плоскости (определяемой точками A, B, C) через точку A проведём прямую, параллельную прямой BC. Точка пересечения этой прямой с ребром нижнего основания даст нам новую вершину сечения — точку E. Отрезок AE является стороной сечения и лежит в левой боковой грани. (Построение: В плоскости левой грани через точку A строим прямую, параллельную BC. Она пересекает нижнее ребро в точке E).
4. Аналогично, в секущей плоскости через точку C проведём прямую, параллельную прямой AB. Точка пересечения этой прямой с ребром нижнего основания даст вершину D. Отрезок CD является стороной сечения и лежит в правой боковой грани. (Построение: В плоскости правой грани через точку C строим прямую, параллельную AB. Она пересекает нижнее ребро в точке D).
5. Точки E и D лежат в плоскости нижней грани. Соединяем их отрезком ED, получая последнюю сторону сечения.
6. В результате построено сечение — пятиугольник ABCDE.

Ответ: Искомое сечение в первом случае — пятиугольник ABCDE, построенный согласно описанным шагам (см. рис. 355, б).

2) Рассмотрим случай, изображенный на рисунке 356. Здесь точки A, B и C расположены так, что никакие две из них не лежат в одной грани. Этот случай решается с помощью метода следов.

1. Сначала построим след секущей плоскости на плоскости нижнего основания. След — это прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью основания.
2. Для этого найдём точку пересечения прямой AB с плоскостью нижнего основания. Продлим отрезок AB и нижнее ребро передней грани (в которой лежит точка A). Точка их пересечения M будет принадлежать как секущей плоскости (поскольку лежит на прямой AB), так и плоскости нижнего основания. Следовательно, точка M лежит на следе.
3. Теперь определим направление следа. Если предположить, что точки B и C лежат на рёбрах верхней грани (как показано на рисунке), то прямая BC параллельна плоскости нижнего основания. По свойству, если прямая в секущей плоскости (BC) параллельна некоторой плоскости (плоскости основания), то линия их пересечения (след) будет параллельна этой прямой.
4. Таким образом, след секущей плоскости на плоскости нижнего основания — это прямая, проходящая через точку M параллельно прямой BC.
5. Проводим эту прямую. Она пересекает рёбра нижнего основания в точках E и F. Отрезок EF является стороной искомого сечения.
6. Теперь, имея точки на разных гранях, достраиваем сечение, используя правило параллельности.
   • Точки A и F лежат в левой боковой грани. Соединяем их, получаем сторону сечения AF.
   • Передняя грань, содержащая точку A, параллельна задней грани, содержащей точку E. Значит, сечение пересечёт заднюю грань по прямой, параллельной AB. Проводим через точку E прямую, параллельную AB, до пересечения с вертикальным ребром в точке D. Получаем сторону сечения ED.
   • Точки C и D лежат в правой боковой грани. Соединяем их, получая сторону CD.
   • Точки B и C уже соединены (лежат в верхней грани).
   • Точки A и B также определяют сторону сечения.
7. Соединив все точки последовательно, получаем искомое сечение — шестиугольник ABCDEF.

Ответ: Искомое сечение во втором случае — шестиугольник ABCDEF, построенный с использованием метода следов (см. рис. 356, б).