Номер 1183, страница 299 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот - номер 1183, страница 299.

Условие.

1183 Даны параллельные прямые $b$ и $c$ и точка $A$, не лежащая ни на одной из них. Постройте равносторонний треугольник $ABC$ так, чтобы вершины $B$ и $C$ лежали соответственно на прямых $b$ и $c$. Сколько решений имеет задача?

Решение

Допустим, что задача решена и искомый треугольник $ABC$ построен (рис. 334, $а$). При повороте плоскости вокруг точки $A$ на $60^\circ$ по часовой стрелке вершина $B$ отображается в вершину $C$, поэтому прямая $b$ отображается на прямую $b_1$, проходящую через точку $C$. Прямую $b_1$ легко построить, не пользуясь точками $В$ и $С$ (см. задачу 1171). Построив прямую $b_1$, находим точку $C$, в которой прямая $b_1$ пересекается с прямой $c$. Затем, построив окружность с центром $A$ радиуса $AC$, находим точку $B$. На рисунке 334, $а$ выполнено построение.

Задача имеет два решения, одно из которых получается при повороте плоскости вокруг точки $A$ на $60^\circ$ по часовой стрелке ($\triangle ABC$ на рисунке 334, $а$), а другое — при повороте плоскости на угол $60^\circ$ против часовой стрелки ($\triangle AB'C'$ на рисунке 334, $б$).

Рис. 334

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом геометрических преобразований, а именно поворотом. Допустим, искомый равносторонний треугольник $ABC$ построен, где вершина $B$ лежит на прямой $b$, а вершина $C$ — на прямой $c$.

Из определения равностороннего треугольника следует, что его стороны равны ($AB = AC$), а угол между этими сторонами $\angle BAC$ равен $60^\circ$. Это означает, что вершина $C$ может быть получена из вершины $B$ поворотом вокруг центра $A$ на угол $60^\circ$. Такой поворот возможен в двух направлениях: по часовой стрелке и против часовой стрелки. Рассмотрим оба случая, каждый из которых приводит к своему решению.

Первое решение (поворот по часовой стрелке)

Выполним поворот плоскости вокруг точки $A$ на $60^\circ$ по часовой стрелке. При этом преобразовании вершина $B$ должна перейти в вершину $C$.

Построение:

1. Так как точка $B$ принадлежит прямой $b$, ее образ, точка $C$, должен принадлежать образу прямой $b$ при указанном повороте. Построим образ прямой $b$ — прямую $b_1$.

2. По условию, точка $C$ также лежит на прямой $c$. Следовательно, искомая вершина $C$ является точкой пересечения прямых $c$ и $b_1$.

3. Найдя точку $C$, мы можем определить положение точки $B$ с помощью обратного преобразования: поворота точки $C$ вокруг $A$ на $60^\circ$ против часовой стрелки. Точка $B$ будет лежать на прямой $b$, так как является прообразом точки $C$, лежащей на $b_1$.

Так как исходные прямые $b$ и $c$ параллельны, повернутая прямая $b_1$ будет пересекать прямую $c$ ровно в одной точке. Таким образом, это построение дает одно уникальное решение.

Второе решение (поворот против часовой стрелки)

Аналогично, второе решение получается при повороте плоскости вокруг точки $A$ на $60^\circ$ против часовой стрелки.

Построение:

1. Строим образ прямой $b$ при повороте вокруг $A$ на $60^\circ$ против часовой стрелки. Назовем этот образ $b'_1$.

2. Точка пересечения прямых $c$ и $b'_1$ дает нам вторую возможную вершину $C'$.

3. Соответствующая ей вершина $B'$ находится обратным поворотом (на $60^\circ$ по часовой стрелке) точки $C'$ вокруг $A$.

Это построение также дает одно уникальное решение, отличное от первого.

Поскольку оба поворота (на $60^\circ$ по часовой стрелке и на $60^\circ$ против часовой стрелки) приводят к построению непараллельных прямой $c$ прямых ($b_1$ и $b'_1$), каждая из них даст по одной точке пересечения. Следовательно, задача всегда имеет два решения.

Ответ: Задача имеет два решения.