Номер 1180, страница 298 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот - номер 1180, страница 298.

Условие.

1180 В окружность с центром $O$ вписаны два равносторонних треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, причём вершины обозначены так, что направление обхода по дуге $ABC$ от точки $A$ к точке $C$ совпадает с направлением обхода по дуге $A_1B_1C_1$ от точки $A_1$ к точке $C_1$. Используя поворот вокруг точки $O$, докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ либо проходят через точку $O$, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ вписаны в одну и ту же окружность с центром $O$, то треугольник $A_1B_1C_1$ можно получить из треугольника $ABC$ поворотом вокруг центра $O$ на некоторый угол $\alpha$. Обозначим этот поворот как $R_O^\alpha$.

При этом повороте вершины одного треугольника переходят в соответствующие вершины другого:

$A_1 = R_O^\alpha(A)$

$B_1 = R_O^\alpha(B)$

$C_1 = R_O^\alpha(C)$

Из определения поворота следует, что углы между радиусами, проведенными к соответствующим вершинам, равны углу поворота: $\angle AOA_1 = \angle BOB_1 = \angle COC_1 = \alpha$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ проходят через центр $O$.

Прямая $AA_1$ проходит через центр окружности $O$ тогда и только тогда, когда точки $A, O, A_1$ лежат на одной прямой. Так как точки $A$ и $A_1$ находятся на окружности, это означает, что отрезок $AA_1$ является ее диаметром. В этом случае угол поворота $\alpha = \angle AOA_1$ должен быть равен $180^\circ$.

Если $\alpha = 180^\circ$, то и другие углы поворота для соответствующих вершин также равны $180^\circ$: $\angle BOB_1 = 180^\circ$ и $\angle COC_1 = 180^\circ$. Это означает, что отрезки $BB_1$ и $CC_1$ также являются диаметрами окружности. Следовательно, все три прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ проходят через точку $O$.

Случай 2: Прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ не проходят через центр $O$.

Этот случай имеет место, если угол поворота $\alpha \neq 180^\circ$ (и $\alpha \neq 0^\circ$, чтобы треугольники не совпадали). В этом случае прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются, образуя некоторый треугольник. Обозначим его вершины: $P = BB_1 \cap CC_1$, $Q = CC_1 \cap AA_1$ и $R = AA_1 \cap BB_1$. Нам нужно доказать, что треугольник $PQR$ является равносторонним.

Для доказательства используем поворот вокруг точки $O$ на $120^\circ$. Обозначим его $R_O^{120^\circ}$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, этот поворот переводит его вершины друг в друга. Условие о совпадении направлений обхода означает, что если $A \to B \to C$ происходит против часовой стрелки, то и $A_1 \to B_1 \to C_1$ тоже.

При повороте $R_O^{120^\circ}$ (против часовой стрелки):

$R_O^{120^\circ}(A) = B, \quad R_O^{120^\circ}(B) = C, \quad R_O^{120^\circ}(C) = A$

Аналогично для второго треугольника:

$R_O^{120^\circ}(A_1) = B_1, \quad R_O^{120^\circ}(B_1) = C_1, \quad R_O^{120^\circ}(C_1) = A_1$

Поворот является движением и переводит прямые в прямые. Рассмотрим, во что переходят прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ при этом повороте:

Прямая $AA_1$ проходит через точки $A$ и $A_1$. Её образом будет прямая, проходящая через образы этих точек, то есть через $B$ и $B_1$. Следовательно, $R_O^{120^\circ}(AA_1) = BB_1$.

Аналогично, $R_O^{120^\circ}(BB_1) = CC_1$ и $R_O^{120^\circ}(CC_1) = AA_1$.

Теперь рассмотрим вершины треугольника $PQR$. Точка $R$ является точкой пересечения прямых $AA_1$ и $BB_1$. Её образ при повороте $R_O^{120^\circ}$ будет точкой пересечения образов этих прямых:

$R_O^{120^\circ}(R) = R_O^{120^\circ}(AA_1 \cap BB_1) = R_O^{120^\circ}(AA_1) \cap R_O^{120^\circ}(BB_1) = BB_1 \cap CC_1 = P$

Точно так же найдем образы других вершин:

$R_O^{120^\circ}(P) = R_O^{120^\circ}(BB_1 \cap CC_1) = R_O^{120^\circ}(BB_1) \cap R_O^{120^\circ}(CC_1) = CC_1 \cap AA_1 = Q$

$R_O^{120^\circ}(Q) = R_O^{120^\circ}(CC_1 \cap AA_1) = R_O^{120^\circ}(CC_1) \cap R_O^{120^\circ}(AA_1) = AA_1 \cap BB_1 = R$

Таким образом, поворот на $120^\circ$ вокруг точки $O$ циклически переставляет вершины треугольника $PQR$ ($R \to P \to Q \to R$). Треугольник, который совмещается сам с собой при повороте на $120^\circ$ вокруг некоторой точки, является равносторонним. Следовательно, треугольник $PQR$ — равносторонний.

Мы доказали, что прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ либо все проходят через центр $O$, либо при пересечении образуют равносторонний треугольник.

Ответ: Утверждение доказано.