Номер 1178, страница 298 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот - номер 1178, страница 298.

Условие.

1178 На сторонах $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ построены квадраты так, как показано на рисунке 332. Используя параллельный перенос, докажите, что отрезок, соединяющий центры этих квадратов, равен и параллелен стороне $AD$.

Рис. 332

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры квадратов, построенных на сторонах $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ соответственно. Пусть $M_1$ — середина стороны $AB$, а $M_2$ — середина стороны $CD$.

Рассмотрим векторы $\vec{M_1O_1}$ и $\vec{M_2O_2}$. Вектор, соединяющий середину стороны квадрата с его центром, перпендикулярен этой стороне, а его длина равна половине длины этой стороны. Согласно рисунку, квадраты построены во внешнюю сторону по отношению к параллелограмму. Это означает, что для получения вектора $\vec{M_1O_1}$ из вектора $\vec{AB}$ и вектора $\vec{M_2O_2}$ из вектора $\vec{DC}$ требуется поворот на один и тот же угол (например, на -90°, если обход $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D$ происходит против часовой стрелки).

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, векторы, их представляющие, равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны, то и векторы $\vec{M_1O_1}$ и $\vec{M_2O_2}$, полученные из них одинаковым преобразованием (масштабирование и поворот на один и тот же угол), также будут равны: $\vec{M_1O_1} = \vec{M_2O_2}$.

Равенство векторов $\vec{M_1O_1}$ и $\vec{M_2O_2}$ означает, что четырехугольник $M_1O_1O_2M_2$ является параллелограммом. Действительно, если выполнить параллельный перенос на вектор $\vec{M_1M_2}$, то точка $M_1$ перейдет в точку $M_2$. Так как $\vec{M_1O_1} = \vec{M_2O_2}$, то при этом же параллельном переносе точка $O_1$ перейдет в точку $O_2$.

Из определения параллельного переноса следует, что вектор, соединяющий исходную точку с ее образом, равен вектору переноса. Значит, $\vec{O_1O_2} = \vec{M_1M_2}$.

Теперь докажем, что вектор $\vec{M_1M_2}$ равен вектору $\vec{AD}$. Выразим вектор $\vec{M_1M_2}$, пройдя по ломаной $M_1 \rightarrow A \rightarrow D \rightarrow M_2$:
$\vec{M_1M_2} = \vec{M_1A} + \vec{AD} + \vec{DM_2}$

Поскольку $M_1$ — середина $AB$, то $\vec{M_1A} = -\frac{1}{2}\vec{AB}$.
Поскольку $M_2$ — середина $CD$, то $\vec{DM_2} = \frac{1}{2}\vec{DC}$.

Подставим эти выражения в предыдущее равенство:
$\vec{M_1M_2} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{DC}$

Так как $\vec{AB} = \vec{DC}$, то $-\frac{1}{2}\vec{AB}$ и $\frac{1}{2}\vec{DC}$ являются противоположными векторами, и их сумма равна нулевому вектору. Таким образом, получаем:
$\vec{M_1M_2} = \vec{AD}$

Из полученных равенств $\vec{O_1O_2} = \vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_2} = \vec{AD}$ следует, что $\vec{O_1O_2} = \vec{AD}$.

Равенство векторов означает, что они имеют одинаковую длину ($|\vec{O_1O_2}| = |\vec{AD}|$) и одинаковое направление ($O_1O_2 \parallel AD$). Таким образом, доказано, что отрезок, соединяющий центры этих квадратов, равен и параллелен стороне $AD$.

Ответ: Доказано.