Номер 1176, страница 298 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот - номер 1176, страница 298.

Условие.

1176 Даны острый угол $ABC$ и точка $D$ внутри него. Используя осевую симметрию, найдите на сторонах данного угла такие точки $E$ и $F$, чтобы треугольник $DEF$ имел наименьший периметр.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть стороны данного острого угла $ABC$ — это лучи $BA$ и $BC$. Нам необходимо найти такие точки $E$ на луче $BA$ и $F$ на луче $BC$, чтобы периметр треугольника $DEF$ был минимальным.

Периметр треугольника $DEF$ вычисляется по формуле $P = DE + EF + FD$. Задача состоит в том, чтобы минимизировать это значение.

Для решения этой задачи воспользуемся методом осевой симметрии, как и предложено в условии.

Построение

Алгоритм нахождения искомых точек $E$ и $F$ следующий:

1. Строим точку $D_1$, симметричную точке $D$ относительно прямой $AB$ (которая содержит сторону $BA$ угла).
2. Строим точку $D_2$, симметричную точке $D$ относительно прямой $BC$ (которая содержит сторону $BC$ угла).
3. Соединяем точки $D_1$ и $D_2$ отрезком прямой.
4. Точка пересечения отрезка $D_1D_2$ со стороной $BA$ и будет искомой точкой $E$.
5. Точка пересечения этого же отрезка $D_1D_2$ со стороной $BC$ будет искомой точкой $F$.

Обоснование

Осевая симметрия является движением, то есть она сохраняет расстояния.

• Поскольку точка $D_1$ симметрична точке $D$ относительно прямой $AB$, а точка $E$ лежит на этой прямой, то расстояние от $E$ до $D$ равно расстоянию от $E$ до $D_1$. То есть, $DE = D_1E$.
• Аналогично, поскольку точка $D_2$ симметрична точке $D$ относительно прямой $BC$, а точка $F$ лежит на этой прямой, то $DF = D_2F$.

Теперь мы можем выразить периметр треугольника $DEF$ через расстояния до точек $D_1$ и $D_2$:

$P = DE + EF + FD = D_1E + EF + D_2F$.

Полученное выражение $D_1E + EF + D_2F$ — это длина ломаной линии $D_1EFD_2$. Точки $D_1$ и $D_2$ имеют фиксированное положение, так как они определяются только исходной точкой $D$ и сторонами угла. Нам нужно выбрать точки $E$ и $F$ на сторонах угла так, чтобы длина этой ломаной была минимальной.

Из геометрии известно, что кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка прямой, соединяющего эти точки. Следовательно, длина ломаной $D_1EFD_2$ будет наименьшей, если точки $D_1, E, F, D_2$ будут лежать на одной прямой. В этом случае длина ломаной будет равна длине отрезка $D_1D_2$.

Наш алгоритм построения как раз и находит такие точки $E$ и $F$, которые лежат на отрезке $D_1D_2$ и одновременно на сторонах угла. Таким образом, построенный треугольник $DEF$ будет иметь наименьший возможный периметр, равный длине отрезка $D_1D_2$.

Ответ: Чтобы найти искомые точки $E$ и $F$, необходимо выполнить следующие построения:
1. Построить точку $D_1$, симметричную точке $D$ относительно стороны $BA$.
2. Построить точку $D_2$, симметричную точке $D$ относительно стороны $BC$.
3. Соединить точки $D_1$ и $D_2$ отрезком.
Точка $E$ будет являться точкой пересечения отрезка $D_1D_2$ со стороной $BA$, а точка $F$ — точкой пересечения отрезка $D_1D_2$ со стороной $BC$.