Номер 1187, страница 313 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1187, страница 313.

Условие.

1187 Существует ли параллелепипед, у которого:

а) только одна грань — прямоугольник;

б) только две смежные грани — ромбы;

в) все углы граней острые;

г) все углы граней прямые;

д) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) только одна грань — прямоугольник;
По определению, параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них является параллелограммом. Важным свойством параллелепипеда является то, что его противолежащие грани попарно параллельны и равны (конгруэнтны).
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Если одна из граней параллелепипеда является прямоугольником, то противолежащая ей грань, будучи равной ей, также должна быть прямоугольником. Следовательно, в параллелепипеде не может быть только одна грань в форме прямоугольника. Если такая грань есть, то их как минимум две (пара противолежащих граней).
Ответ: нет, не существует.

б) только две смежные грани — ромбы;
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Пусть у параллелепипеда две смежные грани являются ромбами. Смежные грани имеют общее ребро. Обозначим это ребро $a$. Поскольку обе грани — ромбы, все стороны этих граней равны длине общего ребра $a$.
Пусть ребра, выходящие из одной вершины, имеют длины $a$, $b$, $c$. Если две смежные грани, пересекающиеся по ребру длиной $c$, являются ромбами, то это означает, что $a=c$ и $b=c$. Таким образом, все три ребра, выходящие из одной вершины, равны: $a=b=c$.
Поскольку все ребра параллелепипеда параллельны и равны одному из этих трех ребер, получается, что все 12 ребер параллелепипеда имеют одинаковую длину. Параллелепипед, у которого все ребра равны, называется ромбоэдром. У ромбоэдра все шесть граней являются равными ромбами.
Следовательно, если две смежные грани — ромбы, то и все остальные грани тоже ромбы. Невозможно, чтобы только две смежные грани были ромбами.
Ответ: нет, не существует.

в) все углы граней острые;
Каждая грань параллелепипеда является параллелограммом. В любом параллелограмме сумма соседних углов равна $180^\circ$. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — соседние углы параллелограмма, тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$.
Острый угол — это угол, меньший $90^\circ$. Если предположить, что один из углов, например $\alpha$, острый ($\alpha < 90^\circ$), то смежный с ним угол $\beta$ будет равен $180^\circ - \alpha$. Так как $\alpha < 90^\circ$, то $\beta > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, что означает, что угол $\beta$ является тупым.
Таким образом, в любой грани-параллелограмме (если она не является прямоугольником) обязательно есть как острые, так и тупые углы. Невозможно, чтобы все углы грани были острыми.
Ответ: нет, не существует.

г) все углы граней прямые;
Если все углы граней прямые ($90^\circ$), то каждая грань является прямоугольником. Параллелепипед, у которого все шесть граней — прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом. Такие фигуры существуют и широко известны (например, кирпич, коробка). Частным случаем является куб.
Ответ: да, существует. Это прямоугольный параллелепипед.

д) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней?
У параллелепипеда 6 граней, каждая из которых — параллелограмм. Всего у 6 четырех-угольных граней $6 \times 4 = 24$ угла.
Рассмотрим возможные типы граней:
1. Грань — прямоугольник. У нее 4 прямых угла, то есть 0 острых и 0 тупых углов.
2. Грань — параллелограмм, не являющийся прямоугольником. У нее 2 равных острых угла и 2 равных тупых угла.
В параллелепипеде противолежащие грани равны. Это значит, что они являются одинаковыми параллелограммами. Таким образом, 6 граней разбиваются на 3 пары равных граней.
- Если пара противолежащих граней состоит из прямоугольников, то эта пара вносит в общую сумму 0 острых и 0 тупых углов.
- Если пара противолежащих граней состоит из параллелограммов (не прямоугольников), то каждая грань имеет 2 острых и 2 тупых угла. Значит, эта пара вносит в общую сумму $2+2=4$ острых угла и $2+2=4$ тупых угла.
В любом случае, каждая пара противолежащих граней добавляет одинаковое количество острых и тупых углов (либо 0 и 0, либо 4 и 4). Суммируя по всем трем парам граней, мы получим, что общее число острых углов всегда равно общему числу тупых углов.
Ответ: нет, не существует.