Номер 11, страница 297 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Вопросы к главе 13 - номер 11, страница 297.

Условие.

11 Докажите, что наложение является движением плоскости.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Чтобы доказать, что наложение является движением плоскости, нужно показать, что оно удовлетворяет определению движения, то есть сохраняет расстояния между точками.

Определение движения: Движением плоскости называется преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками. Если преобразование $f$ переводит точки $M$ и $N$ в точки $M'$ и $N'$, то должно выполняться равенство $|MN| = |M'N'|$.

Определение наложения: Наложение — это преобразование плоскости, переводящее любую геометрическую фигуру в равную ей фигуру.

Доказательство:

Пусть $f$ — произвольное наложение на плоскости. Возьмём две любые точки $M$ и $N$. При преобразовании $f$ эти точки переходят в точки $M' = f(M)$ и $N' = f(N)$.

Рассмотрим отрезок $MN$ как геометрическую фигуру. Расстояние между точками $M$ и $N$ равно длине этого отрезка, обозначаемой $|MN|$.

При наложении $f$ отрезок $MN$ переходит в отрезок $M'N'$. По определению наложения, фигура $MN$ должна быть равна фигуре $M'N'$.

Равенство отрезков означает равенство их длин. Таким образом, длина отрезка $MN$ равна длине отрезка $M'N'$, то есть $|MN| = |M'N'|$.

Это означает, что расстояние между точками $M$ и $N$ равно расстоянию между их образами $M'$ и $N'$.

Поскольку точки $M$ и $N$ были выбраны произвольно, данное свойство выполняется для любой пары точек на плоскости. Следовательно, наложение сохраняет расстояния.

А так как преобразование, сохраняющее расстояния, по определению является движением, то наложение является движением плоскости. Что и требовалось доказать.

Ответ: Наложение является движением, потому что оно по определению переводит любую фигуру в равную ей. Рассмотрим две любые точки $M$ и $N$ и соединяющий их отрезок $MN$. При наложении отрезок $MN$ переходит в равный ему отрезок $M'N'$. Равенство отрезков означает равенство их длин, то есть $|MN| = |M'N'|$. Так как длина отрезка — это расстояние между его концами, наложение сохраняет расстояние между точками $M$ и $N$. Поскольку точки были выбраны произвольно, наложение сохраняет все расстояния и, следовательно, является движением.