Номер 12, страница 297 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Вопросы к главе 13 - номер 12, страница 297.

Условие.

12 Докажите, что любое движение является наложением.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для доказательства этого утверждения необходимо сначала дать определения понятиям «движение» и «наложение» в контексте геометрии.

Определение 1: Движение

Движение (или изометрия) плоскости — это преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками. То есть, если точки $X$ и $Y$ переходят в точки $X'$ и $Y'$ соответственно, то расстояние между ними не меняется: $|X'Y'| = |XY|$.

Определение 2: Наложение

Наложение — это преобразование, которое переводит одну фигуру $F$ в другую фигуру $F'$, при этом фигура $F'$ конгруэнтна (равна) фигуре $F$. Две фигуры называются конгруэнтными, если их можно совместить так, чтобы они полностью совпали.

Теперь докажем, что эти два понятия эквивалентны. Доказательство состоит из двух частей.

1. Докажем, что любое наложение является движением.

Пусть у нас есть наложение, которое переводит фигуру $F$ в конгруэнтную ей фигуру $F'$. Возьмем две произвольные точки $A$ и $B$, принадлежащие фигуре $F$. При наложении они перейдут в точки $A'$ и $B'$ фигуры $F'$. Поскольку фигура $F'$ конгруэнтна $F$, то все соответствующие элементы этих фигур равны. В частности, отрезок $AB$ в фигуре $F$ равен соответствующему отрезку $A'B'$ в фигуре $F'$. Это означает, что их длины равны: $|A'B'| = |AB|$. Так как это справедливо для любых двух точек, то по определению наложение является движением.

2. Докажем, что любое движение является наложением.

Пусть $g$ — некоторое движение плоскости. Возьмем произвольную фигуру $F$. При движении $g$ каждая точка $X$ фигуры $F$ переходит в некоторую точку $X'$, образуя новую фигуру $F'$. Нам нужно доказать, что фигура $F'$ конгруэнтна исходной фигуре $F$.

Чтобы доказать конгруэнтность фигур $F$ и $F'$, достаточно показать, что расстояния между любыми парами точек в фигуре $F$ равны расстояниям между соответствующими парами точек в фигуре $F'$.

Пусть $A$ и $B$ — две произвольные точки фигуры $F$. При движении $g$ они переходят в точки $A' = g(A)$ и $B' = g(B)$, которые принадлежат фигуре $F'$. По определению движения, расстояние между точками сохраняется, то есть $|A'B'| = |AB|$.

Поскольку это равенство выполняется для абсолютно любой пары точек, фигура $F'$ является точной копией фигуры $F$ по форме и размерам. Например, если взять три точки $A, B, C$ в фигуре $F$, не лежащие на одной прямой, то они образуют треугольник $\triangle ABC$. Их образы $A', B', C'$ в фигуре $F'$ образуют треугольник $\triangle A'B'C'$. Так как движение сохраняет расстояния, то $|A'B'|=|AB|$, $|B'C'|=|BC|$ и $|C'A'|=|CA|$. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC$.

Так как любая геометрическая фигура определяется взаимным расположением ее точек, а сохранение расстояний между всеми парами точек гарантирует сохранение всех длин, углов и форм, то фигура $F'$ конгруэнтна фигуре $F$.

Следовательно, движение $g$ переводит фигуру $F$ в конгруэнтную ей фигуру $F'$, а такое преобразование по определению является наложением.

Таким образом, мы доказали, что любое наложение является движением и любое движение является наложением, а значит, эти понятия эквивалентны. Утверждение доказано.

Ответ: Доказательство приведено выше. Оно основано на эквивалентности определений движения (сохранение расстояний) и наложения (отображение фигуры в конгруэнтную ей фигуру). Сначала доказывается, что наложение сохраняет расстояния (и, следовательно, является движением), а затем доказывается, что движение, сохраняя расстояния между всеми точками фигуры, отображает ее в конгруэнтную фигуру (и, следовательно, является наложением).