Номер 10, страница 297 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Вопросы к главе 13 - номер 10, страница 297.

Условие.

10 Докажите, что при наложении различные точки отображают-ся в различные точки.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

По определению, наложение (или изометрия) — это преобразование, сохраняющее расстояния между точками.
Пусть $f$ — это наложение, и пусть A и B — две различные точки.
Поскольку точки A и B различны ($A \neq B$), расстояние между ними, обозначим его $\rho(A, B)$, строго положительно: $\rho(A, B) > 0$.
Пусть при наложении $f$ точка A отображается в точку A', а точка B — в точку B'. Таким образом, $A' = f(A)$ и $B' = f(B)$.
Согласно определению наложения, расстояние между образами точек равно расстоянию между исходными точками:
$\rho(A', B') = \rho(A, B)$.
Так как $\rho(A, B) > 0$, из равенства следует, что $\rho(A', B') > 0$.
Если расстояние между точками A' и B' больше нуля, это означает, что эти точки не совпадают, то есть являются различными: $A' \neq B'$.
Таким образом, мы доказали, что различные точки (A и B) при наложении отображаются в различные точки (A' и B'), что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство следует из определения наложения. Наложение — это преобразование, сохраняющее расстояние. Если взять две различные точки, то расстояние между ними будет больше нуля. Поскольку наложение сохраняет расстояние, то и расстояние между образами этих точек будет больше нуля. Это, в свою очередь, означает, что образы точек не совпадают, то есть являются различными точками.