Номер 6, страница 297 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Вопросы к главе 13 - номер 6, страница 297.

Условие.

6 Является ли центральная симметрия движением?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Да, центральная симметрия является движением.

Движением (или изометрией) называется преобразование плоскости (или пространства), при котором сохраняется расстояние между любыми двумя точками. Чтобы доказать, что центральная симметрия является движением, необходимо показать, что она удовлетворяет этому определению.

Центральная симметрия относительно точки $O$ (центра симметрии) — это преобразование, при котором любая точка $A$ переходит в точку $A'$ так, что $O$ является серединой отрезка $AA'$.

Докажем, что при центральной симметрии расстояние между точками сохраняется. Для этого воспользуемся методом координат. Пусть центр симметрии $O$ находится в начале координат $(0, 0)$. Возьмем две произвольные точки на плоскости: $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$.

При симметрии относительно начала координат точка $A(x_1, y_1)$ перейдет в точку $A'(-x_1, -y_1)$, а точка $B(x_2, y_2)$ перейдет в точку $B'(-x_2, -y_2)$.

Расстояние между точками $A$ и $B$ вычисляется по формуле:

$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Теперь найдем расстояние между их образами, точками $A'$ и $B'$:

$A'B' = \sqrt{(-x_2 - (-x_1))^2 + (-y_2 - (-y_1))^2} = \sqrt{(-x_2 + x_1)^2 + (-y_2 + y_1)^2}$

Поскольку для любого числа $a$ справедливо равенство $(-a)^2 = a^2$, мы можем переписать выражение для $A'B'$:

$A'B' = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Сравнивая полученные формулы, мы видим, что $AB = A'B'$.

Так как расстояние между произвольно выбранными точками $A$ и $B$ равно расстоянию между их образами $A'$ и $B'$, центральная симметрия сохраняет расстояния и, следовательно, является движением.

Ответ: Да, является.