Номер 1171, страница 296 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот - номер 1171, страница 296.

Условие.

1171 Постройте прямую $a_1$, которая получается из данной прямой $a$ поворотом вокруг точки $O$ на угол $60^\circ$ по часовой стрелке, если прямая $a$: а) не проходит через точку $O$; б) проходит через точку $O$.

Решение

а) Построим окружность с центром $O$, которая касается прямой $a$ (объясните, как это сделать). Пусть $M$ — точка касания. При повороте вокруг точки $O$ эта окружность отображается на себя, а касательная $a$ отображается на некоторую касательную $a_1$ (объясните почему). Для построения прямой $a_1$ построим сначала точку $M_1$, в которую отображается точка $M$ при повороте вокруг точки $O$ на угол $60^\circ$ по часовой стрелке, а затем проведём касательную $a_1$ к окружности в точке $M_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

В этом случае прямая $a$ не проходит через центр поворота $O$. План построения, предложенный в задаче, является верным. Выполним его и дадим необходимые объяснения.

1. Построение окружности, касающейся прямой $a$.
Чтобы построить окружность с центром в точке $O$, которая касается прямой $a$, необходимо найти расстояние от точки $O$ до прямой $a$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $a$.

• С помощью циркуля и линейки опустим перпендикуляр из точки $O$ на прямую $a$. Для этого можно построить окружность с центром в $O$, пересекающую прямую $a$ в двух точках, а затем найти середину отрезка между этими точками. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $M$.
• Отрезок $OM$ является радиусом искомой окружности. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = |OM|$. По построению, эта окружность касается прямой $a$ в точке $M$.

2. Свойства поворота и касательной.
Поворот является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния между точками.

• При повороте вокруг точки $O$ на любой угол, окружность с центром в $O$ отображается сама на себя. Это происходит потому, что расстояние от центра $O$ до любой точки на окружности постоянно (равно радиусу). Так как поворот сохраняет расстояние, любая точка окружности перейдет в точку, находящуюся на том же расстоянии от центра $O$, то есть снова на ту же окружность.
• Движение (в том числе поворот) сохраняет углы между прямыми. Прямая $a$ является касательной к окружности в точке $M$, следовательно, она перпендикулярна радиусу $OM$, проведенному в точку касания ($a \perp OM$). При повороте на $60^\circ$ по часовой стрелке прямая $a$ перейдет в прямую $a_1$, точка $M$ перейдет в точку $M_1$, а отрезок $OM$ перейдет в отрезок $OM_1$. Так как поворот сохраняет углы, то образ прямой $a$ (прямая $a_1$) будет перпендикулярен образу радиуса $OM$ (радиусу $OM_1$). Прямая $a_1$, проходящая через точку $M_1$ на окружности и перпендикулярная радиусу $OM_1$, является касательной к этой окружности в точке $M_1$.

3. Построение прямой $a_1$.

• Построим точку $M_1$, которая является образом точки $M$ при повороте вокруг $O$ на $60^\circ$ по часовой стрелке. Для этого строим угол $\angle MOM_1 = 60^\circ$ (по часовой стрелке) и на луче $OM_1$ откладываем отрезок $|OM_1| = |OM|$. Точка $M_1$ будет лежать на построенной ранее окружности.
• Проведем через точку $M_1$ прямую $a_1$, перпендикулярную радиусу $OM_1$. Эта прямая и будет искомой.

Ответ: Алгоритм построения: 1. Опустить перпендикуляр $OM$ из точки $O$ на прямую $a$. 2. Построить окружность с центром $O$ и радиусом $|OM|$. 3. Повернуть точку $M$ вокруг точки $O$ на $60^\circ$ по часовой стрелке, получив точку $M_1$. 4. Провести через точку $M_1$ прямую $a_1$, перпендикулярную отрезку $OM_1$. Прямая $a_1$ — искомая.

б)

В этом случае прямая $a$ проходит через центр поворота $O$. При повороте вокруг точки $O$ сама точка $O$ остается на месте (является неподвижной). Следовательно, образ прямой $a$ — прямая $a_1$ — также будет проходить через точку $O$.

Для построения прямой $a_1$ достаточно найти образ любой другой точки прямой $a$, отличной от $O$.

Алгоритм построения:

• Выберем на прямой $a$ произвольную точку $P$, не совпадающую с точкой $O$.
• Построим точку $P_1$, которая является образом точки $P$ при повороте вокруг центра $O$ на угол $60^\circ$ по часовой стрелке. Для этого нужно построить угол $\angle POP_1 = 60^\circ$ (по часовой стрелке) и на луче $OP_1$ отложить отрезок $|OP_1| = |OP|$.
• Проведем прямую через две точки: неподвижную точку $O$ и построенную точку $P_1$. Эта прямая и есть искомая прямая $a_1$.

Угол между исходной прямой $a$ и полученной прямой $a_1$ будет равен углу поворота, то есть $60^\circ$.

Ответ: Алгоритм построения: 1. Выбрать на прямой $a$ любую точку $P$, отличную от $O$. 2. Построить точку $P_1$ — образ точки $P$ при повороте вокруг $O$ на $60^\circ$ по часовой стрелке. 3. Провести прямую через точки $O$ и $P_1$. Эта прямая и будет искомой прямой $a_1$.