Номер 7, страница 297 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Вопросы к главе 13 - номер 7, страница 297.

Условие.

7 Докажите, что при движении отрезок отображается на отрезок.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Пусть дан отрезок $AB$ и некоторое движение (изометрия) $f$. При этом движении концы отрезка, точки $A$ и $B$, отображаются в некоторые точки $A'$ и $B'$. Образом отрезка $AB$ является множество всех точек $C' = f(C)$, где $C$ — любая точка отрезка $AB$. Докажем, что это множество является отрезком $A'B'$.

Доказательство основано на определении отрезка и движения.

1. Определение отрезка: Точка $C$ принадлежит отрезку $AB$ тогда и только тогда, когда выполняется равенство, связывающее расстояния между точками: $AC + CB = AB$.

2. Определение движения: Движение (изометрия) — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. То есть, если точки $X$ и $Y$ при движении отображаются в точки $X'$ и $Y'$, то расстояние $XY$ равно расстоянию $X'Y'$.

Теперь докажем утверждение в два этапа.

Этап 1: Докажем, что образ любой точки отрезка $AB$ лежит на отрезке $A'B'$.
Возьмём произвольную точку $C$, лежащую на отрезке $AB$. Согласно определению отрезка, для неё выполняется равенство: $AC + CB = AB$.
Пусть при движении $f$ точки $A, B, C$ отображаются в точки $A', B', C'$. По определению движения, оно сохраняет расстояния: $A'C' = AC$, $C'B' = CB$, $A'B' = AB$.
Подставим эти новые выражения для расстояний в исходное равенство: $A'C' + C'B' = A'B'$.
Это равенство означает, что точка $C'$ лежит на отрезке $A'B'$. Поскольку точка $C$ была выбрана произвольно, это верно для любой точки исходного отрезка.

Этап 2: Докажем, что любая точка отрезка $A'B'$ является образом некоторой точки отрезка $AB$.
Возьмём произвольную точку $D$ на отрезке $A'B'$. Для неё выполняется равенство: $A'D + DB' = A'B'$.
Движение является взаимно-однозначным отображением, а значит, для него существует обратное преобразование $f^{-1}$, которое также является движением (сохраняет расстояния). Пусть прообразом точки $D$ при отображении $f$ является точка $E$, то есть $f(E) = D$ или $E = f^{-1}(D)$.
Так как обратное преобразование $f^{-1}$ также сохраняет расстояния, то: $AE = A'D$, $EB = DB'$, $AB = A'B'$.
Подставим эти выражения в равенство для точки $D$: $AE + EB = AB$.
Это равенство означает, что точка $E$ (прообраз точки $D$) лежит на отрезке $AB$.

Таким образом, мы доказали, что движение устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками отрезка $AB$ и точками отрезка $A'B'$. Следовательно, при движении отрезок отображается на отрезок. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. При движении отрезок $AB$ отображается на отрезок $A'B'$, где $A'$ и $B'$ — образы точек $A$ и $B$. Это следует из того, что движение сохраняет расстояния, а принадлежность точки отрезку определяется через равенство $AC + CB = AB$. Движение преобразует это равенство в эквивалентное ему $A'C' + C'B' = A'B'$, которое задаёт отрезок $A'B'$.