Номер 1169, страница 296 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот - номер 1169, страница 296.

Условие.

1169 Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол $90^{\circ}$ квадрат отображается на себя.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан квадрат $ABCD$. Точка $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.

Рассмотрим свойства диагоналей квадрата:

1. Диагонали квадрата равны, точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезки, соединяющие центр с вершинами, равны: $OA = OB = OC = OD$.
2. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Следовательно, углы между отрезками, соединяющими центр с вершинами, равны 90°: $∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°$.

Рассмотрим поворот вокруг точки $O$ на угол $90°$ (например, против часовой стрелки). По определению поворота, точка $X$ переходит в точку $X'$, если $OX = OX'$ и $∠XOX' = 90°$.

Найдем, в какие точки переходят вершины квадрата при данном повороте:

• Для вершины $A$: Мы ищем точку $A'$, такую что $OA' = OA$ и $∠AOA' = 90°$. Из свойств диагоналей квадрата мы знаем, что $OB = OA$ и $∠AOB = 90°$. Следовательно, вершина $A$ переходит в вершину $B$.
• Для вершины $B$: Мы ищем точку $B'$, такую что $OB' = OB$ и $∠BOB' = 90°$. Из свойств диагоналей мы знаем, что $OC = OB$ и $∠BOC = 90°$. Следовательно, вершина $B$ переходит в вершину $C$.
• Для вершины $C$: Мы ищем точку $C'$, такую что $OC' = OC$ и $∠COC' = 90°$. Из свойств диагоналей мы знаем, что $OD = OC$ и $∠COD = 90°$. Следовательно, вершина $C$ переходит в вершину $D$.
• Для вершины $D$: Мы ищем точку $D'$, такую что $OD' = OD$ и $∠DOD' = 90°$. Из свойств диагоналей мы знаем, что $OA = OD$ и $∠DOA = 90°$. Следовательно, вершина $D$ переходит в вершину $A$.

Таким образом, при повороте на $90°$ вокруг точки пересечения диагоналей вершины квадрата переходят друг в друга: $A \rightarrow B$, $B \rightarrow C$, $C \rightarrow D$, $D \rightarrow A$.

Поворот является движением, то есть сохраняет расстояния между точками. Это означает, что отрезки переходят в равные им отрезки. Следовательно, сторона $AB$ переходит в сторону $BC$, $BC$ — в $CD$, $CD$ — в $DA$, а $DA$ — в $AB$.

Поскольку все вершины и стороны квадрата переходят в вершины и стороны того же самого квадрата, то и весь квадрат отображается на себя.

Ответ: Доказано, что при повороте на $90°$ вокруг центра пересечения диагоналей каждая вершина квадрата переходит в соседнюю вершину, а следовательно, весь квадрат отображается на себя.