Номер 1170, страница 296 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот - номер 1170, страница 296.

Условие.

1170 Постройте окружность, которая получается из данной окружности с центром $C$ поворотом вокруг точки $O$ на угол $60^\circ$ против часовой стрелки, если:

а) точки $O$ и $C$ не совпадают;

б) точки $O$ и $C$ совпадают.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Поворот является движением (изометрией), что означает, что он сохраняет расстояния между точками. Следовательно, образом окружности при повороте будет окружность того же радиуса. Чтобы построить новую окружность, достаточно найти положение ее нового центра, который является образом центра исходной окружности при заданном повороте.

а) точки O и C не совпадают

Чтобы построить окружность, полученную поворотом данной окружности с центром $C$ и радиусом $R$ вокруг точки $O$ на $60^\circ$ против часовой стрелки, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти образ центра $C$ — точку $C'$. Для этого соединяем центр вращения $O$ с центром окружности $C$ отрезком $OC$.
2. От луча $OC$ против часовой стрелки откладываем угол, равный $60^\circ$. Для этого можно использовать циркуль и линейку:
   • Проводим дугу окружности с центром в точке $O$ и радиусом $OC$.
   • Не меняя раствора циркуля, устанавливаем его ножку в точку $C$ и проводим еще одну дугу так, чтобы она пересекла первую дугу. Точку пересечения обозначим $C'$.
   В результате построения мы получаем равносторонний треугольник $\triangle OCC'$, поэтому $\angle COC' = 60^\circ$ и $OC' = OC$. Точка $C'$ и есть образ точки $C$ при повороте на $60^\circ$ против часовой стрелки вокруг точки $O$.
3. Точка $C'$ является центром искомой окружности.
4. Поскольку поворот сохраняет расстояния, радиус новой окружности равен радиусу $R$ исходной окружности. Строим окружность с центром в точке $C'$ и радиусом $R$.

Полученная окружность является искомой.

Ответ: Искомая окружность имеет центр в точке $C'$, полученной поворотом точки $C$ вокруг $O$ на $60^\circ$ против часовой стрелки, и ее радиус равен радиусу исходной окружности.

б) точки O и C совпадают

В этом случае центр вращения $O$ совпадает с центром окружности $C$. Поворот осуществляется вокруг центра самой окружности.

По определению, окружность — это множество всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от заданной точки (центра). При повороте вокруг центра $C$ любая точка $A$ на окружности перейдет в точку $A'$, для которой расстояние $CA'$ будет равно расстоянию $CA$. Так как $CA$ равно радиусу, то и $CA'$ будет равно радиусу, а значит, точка $A'$ также будет лежать на этой же окружности.

Таким образом, каждая точка исходной окружности при повороте вокруг ее центра переходит в некоторую точку этой же окружности. Это означает, что окружность как фигура в целом отображается сама на себя.

Ответ: Если центр поворота совпадает с центром окружности, то окружность при повороте на любой угол отображается на саму себя. Искомая окружность совпадает с данной.