Номер 1156, страница 293 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 1. Понятие движения - номер 1156, страница 293.

Условие.

1156 В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $BC = B_1C_1$. Докажите, что существует движение, при котором точки $A$, $B$ и $С$ отображаются в точки $A_1$, $B_1$ и $С_1$, и притом только одно.

Решение

По условию задачи треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по трём сторонам. Следовательно, существует наложение, т. е. движение, при котором точки $A$, $B$ и $С$ отображаются соответственно в точки $A_1$, $B_1$ и $С_1$. Это движение является единственным движением, при котором точки $A$, $B$ и $С$ отображаются соответственно в точки $A_1$, $B_1$ и $С_1$ (задача 1155).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны соответственные стороны: $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $BC = B_1C_1$. Требуется доказать, что существует единственное движение, которое отображает точки $A, B, C$ в точки $A_1, B_1, C_1$ соответственно.

Доказательство можно разбить на две части: доказательство существования и доказательство единственности.

Доказательство существования движения

Поскольку у треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственные стороны равны ($AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $BC = B_1C_1$), то по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам) эти треугольники равны: $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

По определению, две геометрические фигуры называются равными, если существует движение (изометрия или наложение), которое переводит одну фигуру в другую. Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, то такое движение существует. При этом движении соответственные вершины одного треугольника отображаются в соответственные вершины другого, то есть $A \to A_1$, $B \to B_1$ и $C \to C_1$. Таким образом, существование искомого движения доказано.

Доказательство единственности движения

Предположим, что существует два различных движения, $f$ и $g$, каждое из которых отображает точки $A, B, C$ в точки $A_1, B_1, C_1$ соответственно. То есть:

$f(A) = A_1$, $f(B) = B_1$, $f(C) = C_1$

$g(A) = A_1$, $g(B) = B_1$, $g(C) = C_1$

Рассмотрим произвольную точку $M$ на плоскости. Пусть при движении $f$ точка $M$ переходит в точку $M'$, а при движении $g$ — в точку $M''$. То есть $f(M) = M'$ и $g(M) = M''$.

Движение сохраняет расстояния между точками. Поэтому для движения $f$ верны равенства:

$AM = f(A)f(M) = A_1M'$

$BM = f(B)f(M) = B_1M'$

$CM = f(C)f(M) = C_1M'$

Аналогично, для движения $g$ верны равенства:

$AM = g(A)g(M) = A_1M''$

$BM = g(B)g(M) = B_1M''$

$CM = g(C)g(M) = C_1M''$

Сравнивая эти два набора равенств, получаем:

$A_1M' = A_1M''$, $B_1M' = B_1M''$, $C_1M' = C_1M''$.

Точки $A, B, C$ являются вершинами треугольника и, следовательно, не лежат на одной прямой. Поскольку движение сохраняет взаимное расположение точек, точки $A_1, B_1, C_1$ также не лежат на одной прямой.

Полученные равенства означают, что точки $M'$ и $M''$ равноудалены от трёх точек $A_1, B_1, C_1$, не лежащих на одной прямой. В евклидовой геометрии на плоскости существует только одна точка с заданными расстояниями до трёх неколлинеарных точек. Отсюда следует, что точки $M'$ и $M''$ должны совпадать, то есть $M' = M''$.

Поскольку точка $M$ была выбрана произвольно, это означает, что для любой точки плоскости $f(M) = g(M)$. Следовательно, движения $f$ и $g$ являются одним и тем же движением. Это противоречит нашему предположению о том, что они различны, и доказывает, что движение, отображающее точки $A, B, C$ в точки $A_1, B_1, C_1$, является единственным.

Ответ: Утверждение полностью доказано. Существование движения следует из равенства треугольников по третьему признаку. Единственность движения следует из того, что положение любой точки на плоскости однозначно определяется её расстояниями до трёх точек, не лежащих на одной прямой.