Номер 1154, страница 293 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 1. Понятие движения - номер 1154, страница 293.

Условие.

1154 Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

По определению, наложение (или изометрия) — это отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками. Это означает, что для любых двух точек $M$ и $N$ на плоскости, если они отображаются в точки $M'$ и $N'$, то расстояние между образами $|M'N'|$ должно быть равно расстоянию между исходными точками $|MN|$.

В задаче рассматривается отображение, при котором каждая точка $P$ плоскости отображается на себя. Обозначим это отображение как $f$. Тогда для любой точки $P$ её образ $P' = f(P) = P$.

Возьмём две произвольные точки на плоскости, $A$ и $B$. Расстояние между ними равно $|AB|$.

При данном отображении $f$ точка $A$ переходит в точку $A' = f(A)$, а точка $B$ — в точку $B' = f(B)$. Согласно условию, $A' = A$ и $B' = B$.

Найдём расстояние между образами $A'$ и $B'$. Это расстояние равно $|A'B'|$. Так как $A' = A$ и $B' = B$, то мы получаем, что $|A'B'| = |AB|$.

Поскольку для любых двух точек $A$ и $B$ расстояние между их образами при данном отображении равно расстоянию между самими точками, то это отображение сохраняет расстояния. Следовательно, по определению оно является наложением.

Ответ: Указанное отображение является наложением, так как оно сохраняет расстояние между любыми двумя точками плоскости: расстояние между образами точек, совпадающими с самими точками, очевидно, равно расстоянию между исходными точками.