Номер 1132, страница 285 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1132, страница 285.

Условие.

1132 Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата:

а) вписанных в одну и ту же окружность;

б) описанных около одной и той же окружности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) вписанных в одну и ту же окружность

Пусть $R$ — радиус окружности, в которую вписаны правильный треугольник и квадрат.

Сторона правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, вычисляется по формуле $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

Для правильного треугольника ($n=3$):
Сторона $a_3 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \sin(60^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.
Периметр треугольника $P_3 = 3a_3 = 3R\sqrt{3}$.

Для квадрата ($n=4$):
Сторона $a_4 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2R \sin(45^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}$.
Периметр квадрата $P_4 = 4a_4 = 4R\sqrt{2}$.

Найдем отношение периметра треугольника к периметру квадрата:
$\frac{P_3}{P_4} = \frac{3R\sqrt{3}}{4R\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{4 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{6}}{8}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{6}}{8}$.

б) описанных около одной и той же окружности

Пусть $r$ — радиус окружности, около которой описаны правильный треугольник и квадрат.

Сторона правильного n-угольника, описанного около окружности радиуса $r$, вычисляется по формуле $b_n = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

Для правильного треугольника ($n=3$):
Сторона $b_3 = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2r \tan(60^\circ) = 2r\sqrt{3}$.
Периметр треугольника $P_3 = 3b_3 = 3 \cdot 2r\sqrt{3} = 6r\sqrt{3}$.

Для квадрата ($n=4$):
Сторона $b_4 = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2r \tan(45^\circ) = 2r \cdot 1 = 2r$.
Периметр квадрата $P_4 = 4b_4 = 4 \cdot 2r = 8r$.

Найдем отношение периметра треугольника к периметру квадрата:
$\frac{P_3}{P_4} = \frac{6r\sqrt{3}}{8r} = \frac{6\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.