Номер 11, страница 284 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Вопросы к главе 12 - номер 11, страница 284.

Условие.

11 Выведите формулу для вычисления площади круга.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулу для вычисления площади круга можно вывести несколькими способами. Один из самых наглядных — это метод, основанный на преобразовании круга в фигуру, площадь которой нам уже известна, например, в прямоугольник. Этот метод также известен как "метод неделимых" или "метод разрезания".

Шаг 1: Подготовка

Представим себе круг радиусом $R$. Мы знаем, что длина его окружности (границы) вычисляется по формуле $C = 2\pi R$.

Шаг 2: Разрезание круга

Мысленно разделим круг на очень большое количество одинаковых секторов, как будто режем пиццу на множество тонких кусочков. Пусть количество секторов равно $n$. Каждый сектор будет представлять собой узкий треугольник с двумя сторонами, равными радиусу $R$, и третьей стороной в виде небольшой дуги.

Шаг 3: Перегруппировка секторов

Теперь выложим все эти секторы в один ряд, но чередуя их ориентацию: первый сектор острием вверх, второй — острием вниз, третий — снова вверх, и так далее. Когда мы расположим все секторы таким образом, они образуют фигуру, очень похожую на параллелограмм (а при очень большом количестве секторов — на прямоугольник).

Шаг 4: Анализ полученной фигуры

• Высота фигуры: Высота этого "прямоугольника" будет равна радиусу круга $R$, так как она образована прямыми сторонами секторов.

• Длина фигуры: Основание "прямоугольника" будет состоять из дуг половины всех секторов (например, тех, что направлены острием вверх). Общая длина этих дуг составит ровно половину длины всей окружности круга. Следовательно, длина основания равна $\frac{C}{2} = \frac{2\pi R}{2} = \pi R$.

Чем больше секторов мы возьмем (чем больше $n$), тем меньше будет кривизна каждой дуги, и тем больше наша фигура будет походить на идеальный прямоугольник с высотой $R$ и длиной основания $\pi R$.

Шаг 5: Вычисление площади

Площадь прямоугольника находится как произведение его длины на высоту. Для нашей фигуры, в которую превратился круг, площадь $S$ будет равна:

$S = \text{длина} \times \text{высота} = (\pi R) \times R = \pi R^2$

Поскольку мы всего лишь изменили форму, но не добавляли и не убирали площадь, площадь полученного прямоугольника в точности равна площади исходного круга.

Таким образом, мы доказали, что площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

Ответ: $S = \pi R^2$, где $S$ — площадь круга, $R$ — его радиус, а $\pi$ (пи) — математическая константа, приблизительно равная $3.14159$.