Номер 6, страница 284 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Вопросы к главе 12 - номер 6, страница 284.

Условие.

6 Выведите формулы для вычисления стороны правильного $n$-угольника и радиуса вписанной в него окружности через радиус описанной окружности.

Сторона правильного $n$-угольника:

$a_n = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Радиус вписанной окружности:

$r_n = R \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Рассмотрим правильный $n$-угольник, вписанный в окружность. Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $r_n$ — радиус вписанной окружности, а $a_n$ — длина стороны $n$-угольника.

Соединим центр окружности $O$ с двумя соседними вершинами $n$-угольника, $A$ и $B$. Получим равнобедренный треугольник $AOB$, в котором $OA = OB = R$, а сторона $AB = a_n$. Угол при вершине этого треугольника, $\angle AOB$, является центральным углом, опирающимся на сторону $n$-угольника, и равен $ \frac{360^\circ}{n} $.

Проведем в треугольнике $AOB$ высоту $OH$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $H$ — середина $AB$, и $AH = \frac{a_n}{2}$. Высота $OH$ совпадает с радиусом вписанной окружности, то есть $OH = r_n$. Угол $\angle AOH$ равен половине центрального угла: $ \angle AOH = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot \frac{360^\circ}{n} = \frac{180^\circ}{n} $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$.

Формула для вычисления стороны правильного n-угольника

В прямоугольном треугольнике $AOH$ катет $AH$ противолежит углу $\angle AOH$. По определению синуса: $ \sin(\angle AOH) = \frac{AH}{OA} $

Подставим известные значения: $ \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{a_n/2}{R} $

Выразим отсюда сторону $a_n$: $ a_n/2 = R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) $

$ a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) $

Ответ: $ a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) $

Формула для вычисления радиуса вписанной окружности

В том же прямоугольном треугольнике $AOH$ катет $OH$ прилежит к углу $\angle AOH$. По определению косинуса: $ \cos(\angle AOH) = \frac{OH}{OA} $

Подставим известные значения ($OH = r_n$, $OA = R$): $ \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{r_n}{R} $

Выразим отсюда радиус вписанной окружности $r_n$: $ r_n = R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) $

Ответ: $ r_n = R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) $