Номер 1128, страница 284 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1128, страница 284.

Условие.

1128 Сторона квадрата, изображённого на рисунке 317, равна $a$. Вычислите площадь закрашенной фигуры.

$a$

Рис. 317

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для вычисления площади закрашенной фигуры, мы найдем площадь всего квадрата и вычтем из нее площадь незакрашенной (белой) фигуры.

Площадь квадрата со стороной $a$ равна:

$S_{кв} = a^2$

Теперь рассмотрим, как образована незакрашенная фигура. Хотя рисунок может быть схематичным, в задачах такого типа фигура в центре часто образуется пересечением четырёх полукругов, построенных на сторонах квадрата как на диаметрах.

Давайте найдем площадь области, покрытой этими четырьмя полукругами, используя принцип включений-исключений.

1. Пусть $H$ — это область, занимаемая двумя полукругами, построенными на горизонтальных (верхней и нижней) сторонах квадрата. Диаметр каждого полукруга равен $a$, значит радиус $r = a/2$. Площадь одного полукруга равна $\frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (\frac{a}{2})^2 = \frac{\pi a^2}{8}$. Площадь области $H$ равна сумме площадей двух таких полукругов:
   $S_H = 2 \cdot \frac{\pi a^2}{8} = \frac{\pi a^2}{4}$
2. Аналогично, пусть $V$ — это область, занимаемая двумя полукругами, построенными на вертикальных (левой и правой) сторонах квадрата. Её площадь также равна:
   $S_V = 2 \cdot \frac{\pi a^2}{8} = \frac{\pi a^2}{4}$
3. Закрашенная область — это та часть квадрата, которая не покрыта ни одним из полукругов. То есть, её площадь $S_{закр}$ равна площади квадрата минус площадь объединения областей $H$ и $V$:
   $S_{закр} = S_{кв} - S_{H \cup V}$
4. Незакрашенная область — это та часть квадрата, которая покрыта и горизонтальными, и вертикальными полукругами. То есть, её площадь $S_{незакр}$ равна площади пересечения областей $H$ и $V$:
   $S_{незакр} = S_{H \cap V}$
5. По формуле включений-исключений, площадь объединения двух областей равна:
   $S_{H \cup V} = S_H + S_V - S_{H \cap V}$
   Подставляя известные значения, получаем:
   $S_{H \cup V} = \frac{\pi a^2}{4} + \frac{\pi a^2}{4} - S_{незакр} = \frac{\pi a^2}{2} - S_{незакр}$
6. Теперь подставим это выражение в формулу для закрашенной площади:
   $S_{закр} = S_{кв} - (\frac{\pi a^2}{2} - S_{незакр})$
7. Мы знаем, что площадь квадрата равна сумме площадей закрашенной и незакрашенной частей: $S_{кв} = S_{закр} + S_{незакр}$. Отсюда $S_{незакр} = S_{кв} - S_{закр}$. Подставим это в предыдущее уравнение:
   $S_{закр} = S_{кв} - (\frac{\pi a^2}{2} - (S_{кв} - S_{закр}))$
   $S_{закр} = a^2 - (\frac{\pi a^2}{2} - (a^2 - S_{закр}))$
   $S_{закр} = a^2 - \frac{\pi a^2}{2} + a^2 - S_{закр}$
8. Перенесем $S_{закр}$ в левую часть и упростим выражение:
   $2S_{закр} = 2a^2 - \frac{\pi a^2}{2}$
9. Разделим обе части на 2, чтобы найти искомую площадь:
   $S_{закр} = a^2 - \frac{\pi a^2}{4}$
   Вынесем $a^2$ за скобки:
   $S_{закр} = a^2(1 - \frac{\pi}{4})$

Ответ: $a^2(1 - \frac{\pi}{4})$