Номер 2, страница 284 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Вопросы к главе 12 - номер 2, страница 284.

Условие.

2 Выведите формулу для вычисления угла правильного n-угольника.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Чтобы вывести формулу для вычисления величины внутреннего угла правильного n-угольника, необходимо сначала найти формулу для суммы внутренних углов любого выпуклого n-угольника.

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника

Рассмотрим произвольный выпуклый n-угольник. Если выбрать одну из его вершин и провести из нее все возможные диагонали к другим вершинам, то n-угольник будет разделен на $n-2$ треугольника. (Например, четырехугольник, где $n=4$, делится на $4-2=2$ треугольника, а пятиугольник, где $n=5$, — на $5-2=3$ треугольника).

Сумма углов в каждом треугольнике составляет $180^\circ$. Так как многоугольник состоит из $n-2$ таких треугольников, то общая сумма его внутренних углов $S_n$ равна произведению количества треугольников на $180^\circ$:

$S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$

Угол правильного n-угольника

Правильный n-угольник — это многоугольник, у которого все n сторон равны и все n внутренних углов равны. Обозначим величину одного такого угла через $\alpha_n$.

Сумма всех углов правильного n-угольника равна произведению количества углов (n) на величину одного угла ($\alpha_n$). То есть, $S_n = n \cdot \alpha_n$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для суммы углов:

$n \cdot \alpha_n = (n-2) \cdot 180^\circ$

Для того чтобы найти формулу для одного угла $\alpha_n$, нужно разделить обе части этого уравнения на n:

$\alpha_n = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Это и есть искомая формула. Она верна для любого правильного многоугольника с числом сторон $n \ge 3$.

Ответ: $\alpha_n = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$